Question

如圖，在直角坐標平面內，O為原點，拋物線y=ax²+bx經過點A（6，0），且頂點B（m，6）在直線y=2x上．
（1）求m的值和拋物線y=ax²+bx的解析式；
（2）如在線段OB上有一點C，滿足OC=2CB，在x軸上有一點D（10，0），連接DC，且直線DC與y軸交于點E．
①求直線DC的解析式；
②如點M是直線DC上的一個動點，在x軸上方的平面內有另一點N，且以O、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，請求出點N的坐標．（直接寫出結果，不需要過程．）

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據拋物線y=ax²+bx的頂點B（m，6）在直線y=2x上可求出m的值，再用待定系數發(fā)即可求出此拋物線的解析式；
（2）①作CH⊥OA，BG⊥OA，再根據平行線分線段成比例定理即可得出CH的長，進而求出C點坐標，再根據D點坐標用待定系數法即可求出直線DC解析式；
②根據菱形的性質即可求出符合條件的N點坐標．
解答：解：（1）∵頂點B（m，6）在直線y=2x，
∴m=3，（1分）
∴B（3，6），把AB兩點坐標代入拋物線的解析式得，
，解得，
∴拋物線：y=-x²+4x；（3分）

（2）①如圖1，作CH⊥OA，BG⊥OA，
∴CH∥BG，
∴=，
∵OC=2CB，
∴=，CH=4，
∴點C的坐標為（2，4）（2分）
∵D（10，0）根據題意，解得：，
∴直線DC解析式y=-x+5；（2分）

②如圖2：∵四邊形ENOM是菱形，
∴OS=ES=OE=，
∴NK=，
∵ON∥DE，
∴tan∠NOK=tan∠EDO==，
∴OK=5，
∴N₁（-5，），
如圖3：∵EM⊥OB，
∴ON=2OC，
∵點C的坐標為（2，4），
∴N₂（4，8）；
③如圖4：
∵直線DC解析式y=-x+5，
∴E（0，5），
設M（x，-x+5），
∵四邊形ENOM是菱形，
∴EM=OE=5，即x²+（-x）²=25，解得x=2，
∴M（-2，5+），
∴可設N（-2，y），則|5+-y|=5，解得y=或y=10+（舍去）
∴N₃（-2，）．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式、菱形的性質、平行線的性質，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．