Question

【題目】如圖,在△ABC中,已知∠BAC=450，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=2，DC=3，求AD的長(zhǎng)。某同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題。請(qǐng)按照這位同學(xué)的思路，探究并解答下列問(wèn)題：

（1）分別以AB，AC為對(duì)稱軸，作出△ABD，△ACD的軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)分別為E，F，延長(zhǎng)EB，FC交于點(diǎn)G，證明四邊形AEGF是正方形；

（2）設(shè)AD=x，建立關(guān)于x的方程模型，求出AD的值。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AD=6.

【解析】

（1）先根據(jù)△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據(jù)∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°判定四邊形AEGF是矩形， 最后由AE=AF從而說(shuō)明矩形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程（x-2）2+（x-3）2=52，求出AD=x=6．

(1)證明：由題意可得：△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF.

∴∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC,又∠BAC=45°，

∴∠EAF=90°.

又∵AD⊥BC，

∴∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°.

∴四邊形AEGF是矩形，

又∵AE=AD，AF=AD

∴AE=AF.

∴矩形AEGF是正方形.

(2)設(shè)AD=x，則AE=EG=GF=x.

∵BD=2，DC=3

∴BE=2，CF=3

∴BG=x2，CG=x3

在Rt△BGC中,BG2+CG2=BC2，

∴(x2)2+(x3)2=52.

化簡(jiǎn)得,x25x6=0

解得x1=6,x2=1(舍去)

所以AD=x=6.