Question

如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D． 點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B運(yùn)動(dòng)，過M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于Q．
（1）求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)了x（秒）時(shí)，四邊形OBPC的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)Q，使得△DBQ成為以BQ為一腰的等腰三角形？若存在，
求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（4）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△MBQ與△CPQ相似？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線解析式，令y=0，x=0，可求B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），由S_{四邊形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB可列出S與x的函數(shù)關(guān)系式，由于B（3，0），得出0≤x≤3；
（3）根據(jù)BQ為一腰，有兩種可能：①BQ=DQ，②BQ=BD=2，都可由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，求出OM、MQ的長(zhǎng)；
（4）根據(jù)當(dāng)△MBQ∽△PCQ以及當(dāng)△MBQ∽△CPQ，分別進(jìn)行計(jì)算得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）把x=0代入y=-x²+x+2得點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，2），
把y=0代入y=-x²+x+2得點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（3，0）；

（2）如圖1，連接OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y）
S_{四邊形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB=×2×x+×3×y，
=x+（-x²+x+2），
=-x²+3x+3，
∵點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)上停止，
∴0≤x≤3，
∴S=-（x-）²+（0≤x≤3）；

（3）存在．
∵BC==，
①如圖2，若BQ=DQ，
∵BQ=DQ，BD=2，∴BM=1，
∴OM=3-1=2，
∴tan∠OBC===，
∴QM=，
所以Q的坐標(biāo)為Q（2，）．
②如圖3，若BQ=BD=2，
∵QM∥CO，
∴△BQM∽△BCO，
∴==，
∴=，
∴QM=，
∵=，
∴=，
∴BM=，
∴OM=3-，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3-，）；

（4）如圖4，當(dāng)△MBQ∽△PCQ，
則∠BMQ=∠QPC=90°，
此時(shí)PC∥AB，
故P點(diǎn)縱坐標(biāo)為：2，代入二次函數(shù)解析式，即可得出：
2=-x²+x+2，
解得：x=0或2，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，2），
當(dāng)△MBQ∽△CPQ，
則∠PCQ=∠BMQ=90°，
即PC⊥BC，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
則，
解得：k=-，
則直線BC的解析式為：y=-x+2，
故與直線BC垂直且過C點(diǎn)的直線EF解析式為：y=x+2，
將y=x+2與y=-x²+x+2聯(lián)立得：
x+2=-x²+x+2，
解得：x=0或-，
則y=2或，
當(dāng)x=-時(shí)，P點(diǎn)在第2象限，故此時(shí)不符合題意，
綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)P，使得△MBQ∽△PCQ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的運(yùn)用，坐標(biāo)系里面積表示方法，及尋找特殊三角形的條件問題，涉及分類討論和相似三角形的運(yùn)用，根據(jù)已知與圖形進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．