Question

【題目】（12分）（2015秋萬(wàn)州區(qū)期末）在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）如圖1，若D是BC邊上的中點(diǎn)，∠A=45°，DF=3，求AC的長(zhǎng)；

（2）如圖2，D是線段BC上的任意一點(diǎn)，求證：BG=DE+DF；

（3）在圖3，D是線段BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，猜想DE、DF與BG的關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）AC=6；（2）見(jiàn)解析；（3）DE﹣DF=BG．見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)AD．根據(jù)△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）連結(jié)AD．根據(jù)△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG；

（3）連結(jié)AD．根據(jù)△ABC的面積=△ABD的面積﹣△ACD的面積，以及AB=AC，即可得到DE﹣DF=BG．

解：如圖1，連結(jié)AD．

則△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，即ABDE+ACDF=ACBG，

∵AB=AC，

∴DE+DF=BG，

∵D是BC邊上的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC，

∴DE=DF=3，

∴BG=6，

∵∠A=45°，

∴△AGB是等腰直角三角形，

∴AB=BG=6，

∴AC=6；

（2）證明：如圖2，連結(jié)AD．

則△ABC的面積=△ABD的面積+△ACD的面積，

即ABDE+ACDF=ACBG，

∵AB=AC，

∴DE+DF=BG；

（3）DE﹣DF=BG，

證明：如圖3，連接AD，則△ABC的面積=△ABD的面積﹣△ACD的面積，

即ABDE﹣ACDF=ACBG，

∵AB=AC，

∴DE﹣DF=BG．