Question

【題目】如圖，在矩形中，，，直角尺的直角頂點(diǎn)在上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)與，不重合），

一直角邊經(jīng)過點(diǎn)，另一直角邊交于點(diǎn)，我們知道，結(jié)論“”成立．

當(dāng)時(shí)，求的長；

是否存在這樣的點(diǎn)，使的周長等于周長的倍？若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE＝；（2）存在這樣的點(diǎn)，且長為

【解析】

（1）由于∠CPD與∠AEP同為∠APE的余角，因此當(dāng)時(shí)，∠AEP=30°．可在Rt△CPD中，根據(jù)∠CPD的度數(shù)和CD的長，求出PD的長，進(jìn)而可求出AP的值．同理可在Rt△APE中，求出AE的長．
（2）由于Rt△AEP∽Rt△DPC，當(dāng)△DPC的周長等于△AEP周長的2倍時(shí)，兩個(gè)三角形的相似比為1：2，即．根據(jù)CD=AB=4，可求出PD的長．

解：∵，

∴當(dāng)時(shí)，．

在中，，，因此，

∴．

在中，，，因此．假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，

∵，

∴．

∵，

∴，，

∴存在這樣的點(diǎn)，且長為．