【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,點(diǎn)D在上,點(diǎn)E在弦AB上(E不與A重合),且四邊形BDCE為菱形.
(1)求證:AC=CE;
(2)求證:BC2﹣AC2=ABAC;
(3)已知⊙O的半徑為3.
①若=,求BC的長;
②當(dāng)為何值時,ABAC的值最大?
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)①BC=4;②
【解析】(1)由菱形知∠D=∠BEC,由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC,據(jù)此得證;
(2)以點(diǎn)C為圓心,CE長為半徑作⊙C,與BC交于點(diǎn)F,于BC延長線交于點(diǎn)G,則CF=CG=AC=CE=CD,證△BEF∽△BGA得,即BFBG=BEAB,將BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得;
(3)①設(shè)AB=5k、AC=3k,由BC2-AC2=ABAC知BC=2k,連接ED交BC于點(diǎn)M,Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=BC=k求得DM==k,可知OM=OD-DM=3-k,在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2可得答案.②設(shè)OM=d,則MD=3-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,繼而知BC2=(2MC)2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2,由(2)得ABAC=BC2-AC2,據(jù)此得出關(guān)于d的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.
(1)∵四邊形EBDC為菱形,
∴∠D=∠BEC,
∵四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形,
∴∠A+∠D=180°,
又∠BEC+∠AEC=180°,
∴∠A=∠AEC,
∴AC=CE;
(2)以點(diǎn)C為圓心,CE長為半徑作⊙C,與BC交于點(diǎn)F,于BC延長線交于點(diǎn)G,則CF=CG,
由(1)知AC=CE=CD,
∴CF=CG=AC,
∵四邊形AEFG是⊙C的內(nèi)接四邊形,
∴∠G+∠AEF=180°,
又∵∠AEF+∠BEF=180°,
∴∠G=∠BEF,
∵∠EBF=∠GBA,
∴△BEF∽△BGA,
∴,即BFBG=BEAB,
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,
∴(BC﹣AC)(BC+AC)=ABAC,即BC2﹣AC2=ABAC;
(3)設(shè)AB=5k、AC=3k,
∵BC2﹣AC2=ABAC,
∴BC=2k,
連接ED交BC于點(diǎn)M,
∵四邊形BDCE是菱形,
∴DE垂直平分BC,
則點(diǎn)E、O、M、D共線,
在Rt△DMC中,DC=AC=3k,MC=BC=k,
∴DM=,
∴OM=OD﹣DM=3﹣k,
在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2得(3﹣k)2+(k)2=32,
解得:k=或k=0(舍),
∴BC=2k=4;
②設(shè)OM=d,則MD=3﹣d,MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2,
∴BC2=(2MC)2=36﹣4d2,
AC2=DC2=DM2+CM2=(3﹣d)2+9﹣d2,
由(2)得ABAC=BC2﹣AC2
=﹣4d2+6d+18
=﹣4(d﹣)2+,
∴當(dāng)d=,即OM=時,ABAC最大,最大值為,
∴DC2=,
∴AC=DC=,
∴AB=,此時.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】尺規(guī)作圖要求:Ⅰ、過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線;Ⅱ、作線段的垂直平分線;
Ⅲ、過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線;Ⅳ、作角的平分線.
如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖:
則正確的配對是( 。
A. ①﹣Ⅳ,②﹣Ⅱ,③﹣Ⅰ,④﹣Ⅲ B. ①﹣Ⅳ,②﹣Ⅲ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅰ
C. ①﹣Ⅱ,②﹣Ⅳ,③﹣Ⅲ,④﹣Ⅰ D. ①﹣Ⅳ,②﹣Ⅰ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅲ
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】試根據(jù)圖中信息,解答下列問題.
(1)一次性購買6根跳繩需_____元,一次性購買12根跳繩需______元;
(2)小紅比小明多買2根,付款時小紅反而比小明少5元,你認(rèn)為有這種可能嗎?若有,請求出小紅購買跳繩的根數(shù);若沒有,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖1是一輛吊車的實(shí)物圖,圖2是其工作示意圖,AC是可以伸縮的起重臂,其轉(zhuǎn)動點(diǎn)A離地面BD的高度AH為3.4m.當(dāng)起重臂AC長度為9m,張角∠HAC為118°時,求操作平臺C離地面的高度(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位:參考數(shù)據(jù):sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,高AD和BE所在的直線交于點(diǎn)H,且BH=AC,則∠ABC等于( )
A. 45° B. 120° C. 45°或135° D. 45°或120°
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:⊙O是正方形ABCD的外接圓,點(diǎn)E在上,連接BE、DE,點(diǎn)F在上連接BF、DF,BF與DE、DA分別交于點(diǎn)G、點(diǎn)H,且DA平分∠EDF.
(1)如圖1,求證:∠CBE=∠DHG;
(2)如圖2,在線段AH上取一點(diǎn)N(點(diǎn)N不與點(diǎn)A、點(diǎn)H重合),連接BN交DE于點(diǎn)L,過點(diǎn)H作HK∥BN交DE于點(diǎn)K,過點(diǎn)E作EP⊥BN,垂足為點(diǎn)P,當(dāng)BP=HF時,求證:BE=HK;
(3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)3HF=2DF時,延長EP交⊙O于點(diǎn)R,連接BR,若△BER的面積與△DHK的面積的差為,求線段BR的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,,,的斜邊在x軸的正半軸上,點(diǎn)A與原點(diǎn)重合,隨著頂點(diǎn)A由O點(diǎn)出發(fā)沿y軸的正半軸方向滑動,點(diǎn)B也沿著x軸向點(diǎn)O滑動,直到與點(diǎn)O重合時運(yùn)動結(jié)束在這個運(yùn)動過程中.
中點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長______.
點(diǎn)C運(yùn)動的路徑長是______.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD∥BC,∠BAC=70°,DE⊥AC于點(diǎn)E,∠D=20°.
(1)求∠B的度數(shù),并判斷△ABC的形狀;
(2)若延長線段DE恰好過點(diǎn)B,試說明DB是∠ABC的平分線.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∠ABC的平分線BD交邊AC于點(diǎn)D.
(1)求證:△BCD為等腰三角形;
(2)若∠BAC的平分線AE交邊BC于點(diǎn)E,如圖2,求證:BD+AD=AB+BE;
(3)若∠BAC外角的平分線AE交CB延長線于點(diǎn)E,請你探究(2)中的結(jié)論是否仍然成立?直接寫出正確的結(jié)論.
圖1 圖2
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com