Question

（2012•莆田）點(diǎn)A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．若P是x軸上使得|PA-PB|的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點(diǎn)，則OP•OQ=

5

．

Answer 1

分析：連接AB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′連接A′B交y軸于點(diǎn)Q，求出點(diǎn)Q與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答：解：連接AB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，由三角形的三邊關(guān)系可知，點(diǎn)P即為x軸上使得|PA-PB|的值最大的點(diǎn)，
∵點(diǎn)B是正方形的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P即為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，此時(shí)P（3，0）即OP=3；
作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′連接A′B交y軸于點(diǎn)Q，則A′B即為QA+QB的最小值，
∵A′（-1，2），B（2，1），
設(shè)過(guò)A′B的直線為：y=kx+b，則

2=-k+b 1=2k+b

，
解得

k=- 1 3 b= 5 3

，
∴Q（0，

5

3

），即OQ=

5

3

，
∴OP•OQ=3×

5

3

=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，根據(jù)題意得出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．