Question

（1）如圖1，正方形ABCD中，E，F(xiàn)，GH分別為四條邊上的點，并且AE=BF=CG=DH．求證：四邊形EFGH為正方形．
（2）如圖2，有一塊邊長1米的正方形鋼板，被裁去長為

1

4

米、寬為

1

6

米的矩形兩角，現(xiàn)要將剩余部分重新裁成一正方形，使其四個頂點在原鋼板邊緣上，且P點在裁下的正方形一邊上，問如何剪裁使得該正方形面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意易得：△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，故四邊形EFGH是菱形；又有∠4=90°，故四邊形EFGH是正方形；
（2）先根據(jù)題意設(shè)原正方形為ABCD，正方形EFGH是要裁下的正方形，且AH=x；根據(jù)平行線的性質(zhì)，得

1 6

x

=

1-x- 1 4

1-x

；解得x的值，分別求出面積并比較大小可得答案．

解答：（1）證明：∵AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，（2分）
∴HE=EF=FG=GH，∠1=∠2，（3分）
∴四邊形EFGH是菱形，（4分）
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠4=90°，
∴四邊形EFGH是正方形；（5分）

（2）解：如圖，設(shè)原正方形為ABCD，正方形EFGH是要裁下的正方形，且EH過點P．
設(shè)AH=x，則AE=1-x．
∵M(jìn)P∥AH，
∴

1 6

x

=

1-x- 1 4

1-x

，（6分）
整理得12x²-11x+2=0，
解得x1=

1

4

，x2=

2

3

，（7分）
當(dāng)x=

1

4

時，S_{正方形EFGH}=(

1

4

)2+(1-

1

4

)2=

5

8

，
當(dāng)x=

2

3

時，S_{正方形EFGH}=(

2

3

)2+(1-

2

3

)2=

5

9

＜

5

8

，
∴當(dāng)BE=DG=

1

4

米，BF=DH=

3

4

米時，裁下正方形面積最大，面積為

5

8

米²．（9分）

點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．