Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（6，0），點B（0，6），動點C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過O點作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D（其中點C、O、D按逆時針方向排列），連接AB．
（1）當OC∥AB時，∠BOC的度數(shù)為______；
（2）連接AC，BC，當點C在⊙O上運動到什么位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值．
（3）連接AD，當OC∥AD時，
①求出點C的坐標；②直線BC是否為⊙O的切線？請作出判斷，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點A和點B坐標易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當C點在y軸左側時，有∠BOC=∠OBA=45°；當C點在y軸右側時，有∠BOC=180°-∠OBA=135°；
（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB=OA=6，根據(jù)三角形面積公式得到當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長然后利用等腰直角三角形的性質計算出OE，然后計算△ABC的面積；
（3）①過C點作CF⊥x軸于F，易證Rt△OCF∽Rt△AOD，則=，即=，解得CF=，再利用勾股定理計算出OF=，則可得到C點坐標；
②由于OC=3，OF=，所以∠COF=30°，則可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據(jù)“SAS”判斷△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根據(jù)切線的判定定理可確定直線BC為⊙O的切線．
解答：解：（1）∵點A（6，0），點B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴當C點在y軸左側時，∠BOC=∠OBA=45°；
當C點在y軸右側時，∠BOC=180°-∠OBA=135°；

（2）∵△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=OA=6，
∴當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，
過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，如圖，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長，
∵△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=OA=6，
∴OE=AB=3，
∴CE=OC+CE=3+3，
△ABC的面積=CE•AB=×（3+3）×6=9+18．
∴當點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時，
△ABC的面積最大，最大值為9+18．

（3）①如圖，過C點作CF⊥x軸于F，
∵OC∥AD，
∴∠ADO=∠COD=90°，
∴∠DOA+∠DAO=90°
而∠DOA+∠COF=90°，
∴∠COF=∠DAO，
∴Rt△OCF∽Rt△AOD，
∴=，即=，解得CF=，
在Rt△OCF中，OF==，
∴C點坐標為（-，）；
延長CO交⊙O于點C′，則OC′∥AD，
∵C′與C關于原點O對稱，
∴C′點坐標為（，-）；
故所求點C的坐標為（-，）或（，-）；

②當C點坐標為（-，）時，直線BC是⊙O的切線．理由如下：
在Rt△OCF中，OC=3，CF=，
∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
∵在△BOC和△AOD中
，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADC=90°，
∴OC⊥BC，
∴直線BC為⊙O的切線；
當C點坐標為（，-）時，顯然直線BC與⊙O相交，不是⊙O的切線．
點評：本題考查了圓的綜合題：掌握切線的判定定理、平行線的性質和等腰直角三角形的判定與性質；熟練運用勾股定理和相似比進行幾何計算．