Question

九（1）班數(shù)學課題學習小組，為了研究學習二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實踐--應(yīng)用--探究的過程：
（1）實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道（如圖①）進行測量，測得一隧道的路面寬為10m，隧道頂部最高處距地面6.25m，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖②所示的直角坐標系，請你求出拋物線的解析式．
（2）應(yīng)用：按規(guī)定機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m．為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛（兩車并列行駛時不考慮兩車間的空隙）？
（3）探究：該課題學習小組為進一步探索拋物線的有關(guān)知識，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個問題，請予解答：
I．如圖③，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點C、D落在拋物線上，頂點A、B落在x軸 上．設(shè)矩形ABCD的周長為l求l的最大值．
II•如圖④，過原點作一條y=x的直線OM，交拋物線于點M，交拋物線對稱軸于點N，P 為直線0M上一動點，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q．問在直線OM上是否存在點P，使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)已知得出當x=2時，正好是汽車寬度，求出即可；
（3）I．首先表示出矩形周長，再利用二次函數(shù)最值公式求出；
II•利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出QN=AB=AO，以及P在y=x的圖象上，即可得出P點的坐標．

解答：解：（1）根據(jù)坐標系可知此函數(shù)頂點坐標為（5，6.25），且圖象過（10，0）點，
代入頂點式得：
y=a（x-5）²+6.25，
∴0=a（10-5）²+6.25，
解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）²+6.25；

（2）當最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛時，
∴10-3×2=4，
4÷2=2，
∴x=2代入解析式得：
y=-0.25（2-5）²+6.25；
y=4，
4-3.5=0.5，
∴隧道能讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛；

（3）I．假設(shè)AO=x，可得AB=10-2x，
∴AD=-0.25（x-5）²+6.25；
∴矩形ABCD的周長為l為：l=2[-0.25（x-5）²+6.25]+2（10-2x）=-0.5x²+x+20，
∴l(xiāng)的最大值為：

4ac-b 2

4a

=

4×(- 1 2 )×20-1

-2

=20.5．
II•當以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的圖象上，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q點的縱坐標為5，
∴5=

-m2+10m

4

，
解得：m=5±

5

，
當∠P₃NQ₃=90°時，過點Q₃作Q₃K₁⊥對稱軸，
當△NQ₃K₁為等腰直角三角形時，△NP₃Q₃為等腰直角三角形，
Q點在OM的上方時，P₃Q₃=2Q₃K₁，P₃Q₃=-

1

4

x2 +

5

2

x-x，
Q₃K₁=5-x，
Q點在OM的下方時，P₄Q₄=2Q₄K₂，P₄Q₄=x-（-

1

4

x2 +

5

2

x），
Q₄K₂=x-5，
∴

1

4

x²-

7

2

x+10=0，
解得：x₁=4，x₂=10，
P₃（4，4），P₄（10，10）
∴使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，P點的坐標為：
（5-

5

，5-

5

）或（5+

5

，5+

5

）或（4，4）或（10，10）．

點評：此題主要考查了頂點式求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象獲取正確點的坐標以及利用y=x圖象上點的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．