Question

【題目】已知二次函數(shù) y＝mx2﹣2mx+n 的圖象經(jīng)過(guò)（0，﹣3）．

（1）n＝ _____________；

（2） 若二次函數(shù) y＝mx2﹣2mx+n 的圖象與 x 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求 m 值；

（3） 若二次函數(shù) y＝mx2﹣2mx+n 的圖象與平行于 x 軸的直線 y＝5 的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；

（4） 如圖，二次函數(shù) y＝mx2﹣2mx+n 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（3，0），連接 AC，點(diǎn) P 是拋物線位于線段 AC 下方圖象上的任意一點(diǎn)，求△PAC 面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）－3；（2）m=﹣3；（3）（﹣2，5）；（4）當(dāng)a=時(shí)，△PAC的面積取最大值，最大值為

【解析】

（1）將（0，-3）代入二次函數(shù)解析式中即可求出n值；

（2）由二次函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，利用根的判別式△=0，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的解析式利用二次函數(shù)的性質(zhì)可找出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性即可找出另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（4）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中可求出m值，由此可得出二次函數(shù)解析式，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2-2a-3），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，a-3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，0），根據(jù)三角形的面積公式可找出S△ACP關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，配方后即可得出△PAC面積的最大值．

解:（1）∵二次函數(shù)y=mx2﹣2mx+n的圖象經(jīng)過(guò)（0，﹣3），

∴n=﹣3．

故答案為：﹣3．

（2）∵二次函數(shù)y=mx2﹣2mx﹣3的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴△=（﹣2m）2﹣4×（﹣3）m=4m2+12m=0，

解得：m1=0，m2=﹣3．

∵m≠0，

∴m=﹣3．

（3）∵二次函數(shù)解析式為y=mx2﹣2mx﹣3，

∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=﹣=1．

∵該二次函數(shù)圖象與平行于x軸的直線y=5的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，

∴另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1×2﹣4=﹣2，

∴另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，5）．

故答案為：（﹣2，5）．

（4）∵二次函數(shù)y=mx2﹣2mx﹣3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），

∴0=9m﹣6m﹣3，

∴m=1，

∴二次函數(shù)解析式為y=x2﹣2x﹣3．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），

將A（3，0）、C（0，﹣3）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直線AC的解析式為y=x﹣3．

過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)Q，如圖所示．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2﹣2a﹣3），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，a﹣3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，0），

∴PQ=a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）=3a﹣a2，

∴S△ACP=S△APQ+S△CPQ=PQOD+PQAD=﹣a2+a=﹣（a﹣）2+，

∴當(dāng)a=時(shí)，△PAC的面積取最大值，最大值為 ．