Question

已知△ABC的兩邊長a=3，c=5，且第三邊長b為關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+m=0的兩個正整數(shù)根之一，求sinA的值．

Answer 1

分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，兩根之和等于4，由兩個根是正整數(shù)，分情況討論，再由三角形的三邊關(guān)系定理，確定b的值，從而求sinA的值．

解答：解：設(shè)x_l，x₂是關(guān)于x的方程x²-4x+m=0的兩個正整數(shù)根，∴x₁+x₂=4．
∴x₁=1，x₂=3或x₁=x₂=2或x₁=3，x₂=1．（2分）
∴b只能取l、2、3．（2分）
由三角形三邊關(guān)系定理，得
2＜b＜8，
∴b=3．（1分）
過C作CD⊥AB，垂足為D
∵AC=BC=3，
∴AD=

1

2

AB=

5

2

，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=

AC2-AD2

=

11

2

（1分）
∴sinA=

CD

AC

=

11 2

3

=

11

6

（1分）

點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，三角形的三邊關(guān)系定理和三角函數(shù)，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．