Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直經(jīng)作⊙O交BC與D點，過點D作⊙O的切線EF，交AB于點E，交AC的延長線于點F．

（1）求證：FE⊥AB．

（2）當(dāng)AE＝6，AF＝10時，求BE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）連接OD，由EF為⊙O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD與EF垂直，利用同圓的半徑相等和等邊對等角得到OD∥AB，由與平行線中的一條直線垂直，與另一條也垂直，即可得證；
（2）如圖2，連接OD，過O作OG⊥AB于G，先根據(jù)勾股定理求EF=8，根據(jù)三角函數(shù)tan∠F=== = ，設(shè)OD=3x，DF=4x，則OF=5x，表示AG=，根據(jù)AE=6，列方程3x+=6，可得x的值，計算BE的長．

證明：（1）如圖1，連接OD，

∵OC＝OD，

∴∠ODC＝∠OCD，

又∵AB＝AC，

∴∠OCD＝∠B，

∴∠ODC＝∠B，

∴OD∥AB，

∵ED是⊙O的切線，OD是⊙O的半徑，

∴OD⊥EF，

∴AB⊥EF;

（2）如圖2，連接OD，過O作OG⊥AB于G，

Rt△AEF中，∵AE＝6，AF＝10，

∴EF＝8，

tan∠F＝== = ，

設(shè)OD＝3x，DF＝4x，則OF＝5x，

∴OA＝OC＝3x，FC＝2x，

∵OG∥EF，

∴∠AOG＝∠F，

∴sin∠AOG＝sin∠F＝=，

∴== ，

∴AG＝，

∵四邊形EDOG為矩形，

∴EG＝OD＝3x，

∵AE＝6，

∴3x+ ＝6，

x＝，

∴BE＝AB﹣AE＝AC﹣AE＝6x﹣6＝6×﹣6＝．