Question

已知：a＞0，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根且x₁＜x₂，則

1

x1

-

1

x2

的值是（　　）

• A、±

  b

  c2

  b2-4ac

• B、

  1

  c

  b2-4ac

• C、-

  b

  c2

  b2-4ac

• D、±

  b

  c2

  b2-2ac

Answer 1

分析：由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；∵

1

x1

-

1

x2

=（x₂-x₁）÷（x₁•x₂），
分別將兩邊平方得：（

1

x1

-

1

x2

）²=

(x2-x1)2

(x1•x2)2

；
用（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，把所求式子與兩根關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，開(kāi)平方求解，需要注意的是：x₁＜x₂．

解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得
x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．
由

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1•x2

，分別將兩邊平方，得
（

1

x1

-

1

x2

）²=

(x2-x1)2

(x1•x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

(x1x2)2

=

( b a )2-4 c a

c2 a2

=

b2-4ac

c2

．
∵x₁＜x₂，
∴

1

x1

-

1

x2

＞0．
則

1

x1

-

1

x2

=

b2-4ac

c

．故選B

點(diǎn)評(píng)：將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．