Question

【題目】在△ABC中，CO是AB邊上的中線(xiàn)，∠AOC＝60°，AB＝2，點(diǎn)P是直線(xiàn)OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，邊AP的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】或或1

【解析】

當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，如圖2，易得∠BOP＝60°，進(jìn)而可利用三角函數(shù)求出BP的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求出AP的長(zhǎng)；當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，分兩種情況討論：①如圖1，點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，利用直角三角形的性質(zhì)可得PO＝BO，進(jìn)而可得△BOP為等邊三角形，然后利用銳角三角函數(shù)可得AP的長(zhǎng)；②如圖3，點(diǎn)P在CO上時(shí)，易證△AOP為等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．

解：如圖1，當(dāng)∠APB＝90°，點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，

∵AO＝BO，∴PO＝BO，

∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，

∴△BOP為等邊三角形，

∴∠ABP＝60°，

∵AB＝2，

∴AP＝ABsin60°＝2×；

如圖2，當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)，

∵∠AOC＝∠BOP＝60°，

∴BP＝，

在直角△ABP中，由勾股定理，得AP＝；

如圖3，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，點(diǎn)P在CO上時(shí)，

∵AO＝BO，∠APB＝90°，

∴PO＝AO，

∵∠AOC＝60°，

∴△AOP為等邊三角形，

∴AP＝AO＝1；

綜上，AP＝或或1．

故答案為：或或1．