Question

8．△ABC中，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，且AD=$\sqrt{3}$，E、F、G分別為邊BC、CA、AB上的點，則△EFG周長的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在BC上任取一點E，連接AE，把△ABE沿AB翻折得△ABE′，把△ACE沿AC翻折得△ACE″，由∠BAC=60°，推出∠E′AE″=120°，AE=AE′=AE″，連接E′E″交AB、AC于G、F．連接GE，EF，由GE=E′G，EF=E″F，因為△GEF的周長=GE+GF+EF=E′G+GF+E″F=E′E″=$\sqrt{3}$AE，根據垂線段最短可知AD⊥BC時AD的值最小，所以當點E與點D重合時，AE最小，

解答 解：在BC上任取一點E，連接AE，
把△ABE沿AB翻折得△ABE′，把△ACE沿AC翻折得△ACE″，
∵∠BAC=60°，
∴∠E′AE″=120°，AE=AE′=AE″，
連接E′E″交AB、AC于G、F．連接GE，EF，
∵GE=E′G，EF=E″F，
∴△GEF的周長=GE+GF+EF=E′G+GF+E″F=E′E″=$\sqrt{3}$AE，
∵根據垂線段最短可知AD⊥BC時AD的值最小，
∴當點E與點D重合時，AE最小，
∴△DEF的周長的最小值=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3．
故選C．

點評 本題考查了軸對稱的性質，等腰三角形的性質，最短路線問題，解題的關鍵是學會利用垂線段最短解決最短問題，作出G、E、F點是本題的關鍵．