Question

【題目】如圖，矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)為上任意點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

設(shè)M、N分別為AB、AD的中點(diǎn)，則MN是△ABD的中位線，點(diǎn)F在MN上，作點(diǎn)O關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接BO′，則BO′即為的最小值，易證△ABO是等邊三角形，過點(diǎn)A作AH⊥BO于H，求出AH＝OO′＝，然后利用勾股定理求出BO′即可．

解：如圖，設(shè)M、N分別為AB、AD的中點(diǎn)，則MN是△ABD的中位線，

∵E為BD上任意點(diǎn)，F為AE中點(diǎn)，

∴點(diǎn)F在MN上，

作點(diǎn)O關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接BO′，則BO′即為的最小值，

∵四邊形ABCD是矩形，，

∴OA＝OB，∠AOB＝60°，

∴△ABO是等邊三角形，

∴AB＝BO＝4，

過點(diǎn)A作AH⊥BO于H，則BH＝HO＝2，

∴AH＝，

∵MN∥BD，點(diǎn)H關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)O關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)為O′

∴OO′＝AH＝，且OO′⊥BD，

∴，

即的最小值為，

故選：A．