Question

19．如圖，⊙O的直徑AB=2，弦AC=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{3}$．
（1）用尺規(guī)作圖法在⊙O內(nèi)作出弦AC、AD（不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡）
（2）求∠CAD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）直接利用圓周角定理結(jié)合AB，AC，AD的長(zhǎng)分別得出C，D，點(diǎn)位置；
（2）本題大致的思路是連接BC、BD，分別在Rt△CAB和Rt△BAD中，求出∠CAD和∠CAB的度數(shù)，然后根據(jù)D點(diǎn)的不同位置分類(lèi)討論．

解答 解：（1）如圖所示：弦AC、AD，弦AC′、AD′即為所求；

（2）本題分兩種情況：（如圖）
①當(dāng)AD在AB上方時(shí)，連接BD、BC，
則∠ADB=∠ACB=90°，
Rt△ADB中，AD=$\sqrt{3}$，AB=2，
∴∠DAB=30°，
Rt△ACB中，AC=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴∠CAB=45°，
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=15°，
②當(dāng)AD在AB下方時(shí)，同①可求得∠CAD=75°，
綜上所述：∠CAD的度數(shù)為：15°或75°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)雜作圖以及圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)，解答時(shí)要注意分兩種情況討論，不要漏解，難度適中．