Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G．
①求證：BD⊥CF；
②當(dāng)AB=4，AD= 時(shí)，求線段BG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：BD=CF成立．

理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS）．

∴BD=CF．

（2）①證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M．

∵△BAD≌△CAF（已證），

∴∠ABM=∠GCM．

∵∠BMA=∠CMG，

∴△BMA∽△CMG．

∴∠BGC=∠BAC=90°．

∴BD⊥CF．

②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N．

∵在正方形ADEF中，AD=DE= ，

∴AE= =2，

∴AN=FN= AE=1．

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，

∴CN=AC﹣AN=3，BC= =4 ．

∴在Rt△FCN中，tan∠FCN= = ．

∴在Rt△ABM中，tan∠ABM= =tan∠FCN= ．

∴AM= AB= ．

∴CM=AC﹣AM=4﹣ = ，BM= = = ．

∵△BMA∽△CMG，

∴ ．

∴ ．

∴CG= ．

∴在Rt△BGC中，BG= = ．

【解析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得BD=CF；（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由對(duì)頂角相等，易證得△BMA∽△CMG，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可證得BD⊥CF；②首先過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長(zhǎng)，繼而求得AN，CN長(zhǎng)，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得AM= AB= ，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求得線段BG的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．