Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫圓，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作⊙O的切線，與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B．
（1）求證：△OBP與△OPA相似；
（2）當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在⊙O上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q，O，A、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，試求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAB中，由切線的性質(zhì)知：OP⊥AB，易證得△OAP∽△BPO．
（2）當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，由于OP⊥AB，那么OP平分∠AOB，即P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等，已知OP的長(zhǎng)，易求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）此題應(yīng)分兩種情況：
①OP為對(duì)角線，此時(shí)OQ∥AP，由于∠OPA=90°，那么∠POQ=90°，即△POQ是等腰直角三角形，已知OA⊥OB，那么OB⊥PQ，此時(shí)OB為∠POQ的對(duì)角線，即P、Q關(guān)于y軸對(duì)稱由此得解；
②OP為邊，此時(shí)OP∥AQ，由于∠OPA=90°，那么平行四邊形OPAQ為矩形，即∠POQ是等腰直角三角形，解法同①．

解答：解：（1）證明：
∵AB是過點(diǎn)P的切線，
∴AB⊥OP，∴∠OPB=∠OPA=90°；（1分）
∴在Rt△OPB中，∠1+∠3=90°，
又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3；（1分）
在△OPB中△APO中，
∴△OPB∽△APO．（2分）

（2）∵OP⊥AB，且PA=PB，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴OP是∠AOB的平分線，
∴點(diǎn)P到x、y軸的距離相等；（1分）
又∵點(diǎn)P在第一象限，
∴設(shè)點(diǎn)P（x，x）（x＞0），
∵圓的半徑為2，
∴OP=

2x2

=2，解得x=

2

或x=-

2

（舍去），（2分）
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（

2

，

2

）．（1分）

（3）存在；
①如圖設(shè)OAPQ為平行四邊形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；
∵AB⊥OP，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，
∴∠POQ=90°，
∵OP=OQ，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OB是∠POQ的平分線且是邊PQ上的中垂線，
∴∠BOQ=∠BOP=45°，
∴∠AOP=45°，
設(shè)P（x，x）、Q（-x，x）（x＞0），（2分）
∵OP=2代入得

2x2

=2，解得x=

2

，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)是（-

2

，

2

）；（1分）
②如圖示OPAQ為平行四邊形，
同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo)是（

2

，-

2

）．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是切線的性質(zhì)以及平行四邊形的判定，還涉及到相似三角形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，難度較大．