Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于、兩點(點在點的左側(cè))，與軸交于點，且．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)動點在線段下方的拋物線上．

①連接、，過點作軸的垂線，垂足為，交于點．過點作，垂足為．設(shè)點的橫坐標為，線段的長為，用含的代數(shù)式表示；

②過點作，垂足為，連接．是否存在點，使得中的一個角恰好等于的2倍?如果存在，求出點的橫坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，1或

【解析】

（1）根據(jù)題意可求點A（-1，0），點B（m，0），根據(jù)OB=3OA，可求m的值，即可求解析式；

（2）①先求出直線BC解析式，即可得F點坐標，利用可得用含t的代數(shù)式表示d；

②分∠CDH=2∠ABC或∠DCH=2∠ABC兩種情況討論，利用銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)可求點D的橫坐標．

解：（1）令y=0，則，

∴ ，

∴（x-m）（x+1）=0

∴

∵m＞0，點A在點B的左側(cè)

∴點A（-1，0），點B（m，0）

∴OA=1，OB=m ，

∵OB=3OA ，∴m=3

∴拋物線

（2）①如圖1：連接AF

∵拋物線與y軸交與點C

∴點C（0，-2）

∵點A（-1，0），點B（3，0），點C（0，-2）

∴AB=4，OC=2，AC=

∵設(shè)直線BC解析式y=kx+b

∴

解得

∴直線BC解析式

∵D點橫坐標為t，DF⊥AB

∴點F的橫坐標為t ∴

∵

∴，

∴

∴，

②若∠DCH=2∠ABC，如圖2：

過點C作CF∥AB，交拋物線于F點，作DE⊥CF于點E．

∵AB∥CF ∴∠ABC=∠BCF

又∵∠DCH=2∠BCF

∴∠DCF=∠ABC=∠BCF

∵點D坐標為，

∴CE=t，DE=

∵tan∠DCF=tan∠ABC=

∴

∴ （不合題意舍去），

即點D的橫坐標為1．

若∠CDH=2∠ABC，如圖3：

作∠ECB=∠ABC，過點B作BP∥HD，交CD的延長線于點P，作PF⊥AB于F．

∵∠ECB=∠ABC ∴EC=BE，∠AEC=2∠ABC ，

在Rt△OEC中，

∴

∴CE=，

∴OE=OB-BE= ，

∴tan∠AEC=tan2∠ABC=

∵點B（3，0），點C（0，-2）

∴BC=

∵BP∥HD，HD⊥BC ∴BP⊥BC，∠CDH=∠CPB=2∠ABC

∴tan∠CPB=tan2∠ABC==．

∴BP=

∵∠ABC+∠PBF=90°，∠ABC+∠OCB=90° ，

∴∠OCB=∠PBF，且∠BOC=∠PFB=90°

∴△BOC∽△PFB ∴

∴PF=BF=

∴

∴點P坐標

∵點C（0，-2），點P

∴直線PC解析式

∵直線CP與拋物線交于C，D兩點

∴

解得：

∴點D的橫坐標為

綜上所述：點D的橫坐標為或1