Question

 

.如圖，已知二次函數(shù)                的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為(8，0)，連接AB、AC.

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出二次函數(shù)                的表達(dá)式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（4）若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

 

  

Answer 1

解：（1）拋物線表達(dá)式： ………2分

（2）△ABC是直角三角形   ……………………3分

令y=0，則解得，x₁=8，x₂=-2

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0）    …………………4分

由已知可得，

在Rt△ABO中AB­­­­²=BO²+AO²=2²+4²=20

在Rt△AOC中AC­­­­²=AO²+CO²=4²+8²=80

又∵BC=OB+OC=2+8=10

∴在△ABC中AB­­­­²+ AC­­­­²=20+80=10²=BC²

∴△ABC是直角三角形       …………………6分

（3）坐標(biāo)分別為（-8，0）、（8-，0）、（3，0）、（8+，0）……………10分

（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN=n+2，過(guò)M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D，…11分

∴MD∥OA

∴△BMD∽△BAO

∴

∵MN∥AC

∴

∴

∵OA=4，BC=10，BN=n+2

∴MD=

∵S_△AMN= S_△ABN- S_△BMN

      =

=                   ……………………13分

         ∴當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）