Question

如圖，在□ABCD中，E ，F分別為邊AB, CD的中點，連接DE, BF, BD．

（1）求證：．

（2）當 時，（添加一個條件），四邊形BFDE是菱形？請證明你的結論．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）添加AD⊥BD．證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據平行四邊形的對邊相等的性質可以得到AD=BC，AB=CD，又點E、F是AB、CD中點，所以AE=CF，然后利用邊角邊即可證明兩三角形全等；

（2）連接EF，可以證明四邊形AEFD是平行四邊形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根據菱形的判定可以得到四邊形是菱形．

試題解析：（1）在?ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，

∵E、F分別為邊AB、CD的中點，

∴AE=CF，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）添加AD⊥BD．

理由如下：連接EF，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，

∴DF平行且等于AE，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

∴EF∥AD，

∵AD⊥BD，

∴EF⊥BD，

又∵四邊形BFDE是平行四邊形，

∴四邊形BFDE是菱形．

考點：1．菱形的判定；2．全等三角形的判定與性質；3．平行四邊形的性質．