【題目】如圖,在ABCD中,AB4,BC8,∠ABC60°.點P是邊BC上一動點,作PAB的外接圓⊙OBDE

1)如圖1,當PB3時,求PA的長以及⊙O的半徑;

2)如圖2,當∠APB2PBE時,求證:AE平分∠PAD;

3)當AEABD的某一條邊垂直時,求所有滿足條件的⊙O的半徑.

【答案】(1)PA的長為,⊙O的半徑為;(2)見解析;(3)⊙O的半徑為2

【解析】

1)過點ABP的垂線,作直徑AM,先在RtABH中求出BH,AH的長,再在RtAHP中用勾股定理求出AP的長,在RtAMP中通過銳角三角函數(shù)求出直徑AM的長,即求出半徑的值;

2)證∠APB=∠PAD2PAE,即可推出結論;

3)分三種情況:當AEBD時,ABO的直徑,可直接求出半徑;當AEAD時,連接OBOE,延長AEBCF,通過證△BFE∽△DAE,求出BE的長,再證△OBE是等邊三角形,即得到半徑的值;當AEAB時,過點DBC的垂線,通過證△BPE∽△BND,求出PE,AE的長,再利用勾股定理求出直徑BE的長,即可得到半徑的值.

1)如圖1,過點ABP的垂線,垂足為H,作直徑AM,連接MP,

Rt△ABH中,ABH60°,

∴∠BAH30°,

BHAB2,AHABsin60°2

HPBPBH1,

Rt△AHP中,

AP,

AB是直徑,

∴∠APM90°,

Rt△AMP中,MABP60°,

AM,

∴⊙O的半徑為,

PA的長為,O的半徑為

2)當APB2∠PBE時,

∵∠PBEPAE

∴∠APB2∠PAE,

在平行四邊形ABCD中,ADBC

∴∠APBPAD,

∴∠PAD2∠PAE

∴∠PAEDAE,

AE平分PAD;

3如圖31,當AEBD時,AEB90°,

ABO的直徑,

rAB2

如圖32,當AEAD時,連接OBOE,延長AEBCF

ADBC,

AFBCBFE∽△DAE,

Rt△ABF中,ABF60°,

AFABsin60°2,BFAB2

,

EF

Rt△BFE中,

BE

∵∠BOE2∠BAE60°,OBOE

∴△OBE是等邊三角形,

r

AEAB時,BAE90°

AEO的直徑,

∴∠BPE90°

如圖33,過點DBC的垂線,交BC的延長線于點N,延開PEAD于點Q,

Rt△DCN中,DCN60°,DC4

DNDCsin60°2,CNCD2,

PQDN2,

QEx,則PE2x

Rt△AEQ中,QAEBADBAE30°,

AE2QE2x

PEDN,

∴△BPE∽△BND

,

,

BP10x

Rt△ABERt△BPE中,

AB2+AE2BP2+PE2,

∴16+4x2=(10x2+2x2,

解得,x16(舍),x2

AE2,

BE2,

r

∴⊙O的半徑為2

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