【題目】如圖,在ABCD中,AB=4,BC=8,∠ABC=60°.點P是邊BC上一動點,作△PAB的外接圓⊙O交BD于E.
(1)如圖1,當PB=3時,求PA的長以及⊙O的半徑;
(2)如圖2,當∠APB=2∠PBE時,求證:AE平分∠PAD;
(3)當AE與△ABD的某一條邊垂直時,求所有滿足條件的⊙O的半徑.
【答案】(1)PA的長為,⊙O的半徑為;(2)見解析;(3)⊙O的半徑為2或或
【解析】
(1)過點A作BP的垂線,作直徑AM,先在Rt△ABH中求出BH,AH的長,再在Rt△AHP中用勾股定理求出AP的長,在Rt△AMP中通過銳角三角函數(shù)求出直徑AM的長,即求出半徑的值;
(2)證∠APB=∠PAD=2∠PAE,即可推出結論;
(3)分三種情況:當AE⊥BD時,AB是⊙O的直徑,可直接求出半徑;當AE⊥AD時,連接OB,OE,延長AE交BC于F,通過證△BFE∽△DAE,求出BE的長,再證△OBE是等邊三角形,即得到半徑的值;當AE⊥AB時,過點D作BC的垂線,通過證△BPE∽△BND,求出PE,AE的長,再利用勾股定理求出直徑BE的長,即可得到半徑的值.
(1)如圖1,過點A作BP的垂線,垂足為H,作直徑AM,連接MP,
在Rt△ABH中,∠ABH=60°,
∴∠BAH=30°,
∴BH=AB=2,AH=ABsin60°=2,
∴HP=BP﹣BH=1,
∴在Rt△AHP中,
AP==,
∵AB是直徑,
∴∠APM=90°,
在Rt△AMP中,∠M=∠ABP=60°,
∴AM===,
∴⊙O的半徑為,
即PA的長為,⊙O的半徑為;
(2)當∠APB=2∠PBE時,
∵∠PBE=∠PAE,
∴∠APB=2∠PAE,
在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,
∴∠APB=∠PAD,
∴∠PAD=2∠PAE,
∴∠PAE=∠DAE,
∴AE平分∠PAD;
(3)
∴AB是⊙O的直徑,
∴r=AB=2;
②如圖3﹣2,當AE⊥AD時,連接OB,OE,延長AE交BC于F,
∵AD∥BC,
∴AF⊥BC,△BFE∽△DAE,
∴=,
在Rt△ABF中,∠ABF=60°,
∴AF=ABsin60°=2,BF=AB=2,
∴=,
∴EF=,
在Rt△BFE中,
BE===,
∵∠BOE=2∠BAE=60°,OB=OE,
∴△OBE是等邊三角形,
∴r=;
③當AE⊥AB時,∠BAE=90°,
∴AE為⊙O的直徑,
∴∠BPE=90°,
如圖3﹣3,過點D作BC的垂線,交BC的延長線于點N,延開PE交AD于點Q,
在Rt△DCN中,∠DCN=60°,DC=4,
∴DN=DCsin60°=2,CN=CD=2,
∴PQ=DN=2,
設QE=x,則PE=2﹣x,
在Rt△AEQ中,∠QAE=∠BAD﹣BAE=30°,
∴AE=2QE=2x,
∵PE∥DN,
∴△BPE∽△BND,
∴=,
∴=,
∴BP=10﹣x,
在Rt△ABE與Rt△BPE中,
AB2+AE2=BP2+PE2,
∴16+4x2=(10﹣x)2+(2﹣x)2,
解得,x1=6(舍),x2=,
∴AE=2,
∴BE===2,
∴r=,
∴⊙O的半徑為2或或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年12月份,我市迎來國家級文明城市復查,為了了解學生對文明城市的了解情況,學校隨機抽取了部分學生進行問卷調查,將調查結果按照“A非常了解了解了解較少不了解”四類分別統(tǒng)計,并繪制了下列兩幅統(tǒng)計圖(不完整請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
此次共調查了______名學生;
扇形統(tǒng)計圖中D所在的扇形的圓心角為______;
將條形統(tǒng)計圖補充完整;
若該校共有800名學生,請你估計對文明城市的了解情況為“非常了解”的學生的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E為AB的中點,
(1)求證:AC2=ABAD;
(2)求證:△AFD∽△CFE.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點B的坐標是(-2,0),點C的坐標是(8,0),以線段BC為直徑作⊙A,交y軸的正半軸于點D,過B、C、D三點作拋物線.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連結BD,CD,點E是BD延長線上一點,∠CDE的角平分線DF交⊙A于點F,連結CF,在直線BE上找一點P,使得△PFC的周長最小,并求出此時點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點G,使得∠GFC=∠DCF,若存在,請直接寫出點G的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(0,6)和(1,8).
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)①當x在什么范圍內時,y隨x的增大而增大?
②當x在什么范圍內時,y>0?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點A(4,m),AB⊥x軸,且△AOB的面積為2.
(1)求k和m的值;
(2)若點C(x,y)也在反比例函數(shù)y=的圖象上,當-3≤x≤-1時,求函數(shù)值y的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=2BC, E為AD的中點,連接BD,BE,∠ABD=90°
(1)求證:四邊形BCDE為菱形.
(2)連接AC,若AC⊥BE, BC=2,求BD的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在中國數(shù)學名著《九章算術》中,有這樣一個問題:“今有共買牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三十. 問家數(shù)、牛價各幾何?”大意是:幾家人湊錢合伙買牛,如果每7家共出190元,那么還缺少330元錢;如果每9家共出270元,又多了30元錢. 問共有多少人家,每頭牛的價錢是多少元?若設有x戶人家,則可列方程為( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,點E在BC邊上,點F在DC的延長線上,且∠DAE=∠F.
(1) 求證:△ABE∽△ECF;
(2) 若AB=5,AD=8,BE=2,求FC的長.
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