Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，其頂點為D，連接BD，點是線段BD上一個動點（不與B、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；

（2）如果P點的坐標為（x，y），△PBE的面積為，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，過點P作x的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為P′，請直接寫出P′點坐標，并判斷點P′是否在該拋物線上．

Answer 1

【答案】（1）頂點D的坐標為(1，4)；（2）當時， S取得最大值，最大值為；（3）把P′坐標（）代入拋物線解析式，不成立，所以不在拋物線上．

【解析】

（1）根據(jù)A，B，C三點的坐標，可以運用交點式法求得拋物線的解析式．再根據(jù)頂點的坐標公式求得拋物線的頂點坐標；

（2）根據(jù)B，D的坐標運用待定系數(shù)法求得直線BD的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式以及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式得到s與x之間的函數(shù)關(guān)系式．點P的橫坐標即x的值位于點D和點B的橫坐標之間．根據(jù)二次函數(shù)的頂點式即可分析其最值；

（3）根據(jù)（2）中的坐標得點E和點C重合．過P′作P′H⊥y軸于H，P′F交y軸于點M．要求P′H和OH的長．P′H的長可以運用直角三角形P′CM的面積進行計算．設(shè)MC＝m，則MF＝m，P′M＝3m，P′E＝32．根據(jù)勾股定理列方程求解，得到直角三角形P′CM的三邊后，再根據(jù)直角三角形的面積公式進行計算．要求OH的長，已知點C的坐標，只需根據(jù)勾股定理進一步求得CH的長即可．把求得的點P的坐標代入拋物線解析式即可判斷點P′是否在該拋物線上．

（1）設(shè)，

把代入，得，

∴拋物線的解析式為：，

頂點的坐標為；

（2）設(shè)直線解析式為：（），把兩點坐標代入，

得

解得，

∴直線解析式為，

，

∴，

，

∴當時，取得最大值，最大值為；

（3）當取得最大值，，，

∴，

∴四邊形是矩形，

作點關(guān)于直線的對稱點，連接，

法一：過作軸于，交軸于點，

設(shè)，則，

在中，由勾股定理，

，

解得，

∵，

∴，

由，可得，，

∴，

∴坐標；

法二：連接，交于點，分別過點作的垂線，垂足為，

易證，

∴，

設(shè)，則，

∴，，

由三角形中位線定理，

，

∴，即，

，

∴坐標．

把坐標代入拋物線解析式，不成立，所以不在拋物線上．