Question

【題目】在邊長(zhǎng)為10的等邊中，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段的延長(zhǎng)線移動(dòng)，點(diǎn)、移動(dòng)的速度相同， 與直線相交于點(diǎn).

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，

（I）求證： ；（II）求的長(zhǎng)；

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，當(dāng)點(diǎn)、在移動(dòng)的過(guò)程中，試確定的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（I） （II）；（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）I、過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于點(diǎn)E，結(jié)合已知條件易證△PBF是等邊三角形，從而可得PF=BP=CQ，由此易證△PFD≌△QCD，即可得到PD=QD；II、由△PFD≌△QCD可得DF=DC；由△PBF是等邊三角形，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)可得BF=BP=5，由此可得FC=BC-BF=5，從而可得DC=CF=；

（2）由點(diǎn)P在射線BA上移動(dòng)可知，需分點(diǎn)P在線段AB上和點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上兩種情況討論：I、當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如圖②，由△PFD≌△QCD可得DF=DC；由△BPF是等邊三角形，PE⊥BC于點(diǎn)E可得BE=FE；結(jié)合BF+FC即可得到2BE+2DC=BC，從而可得BE+DC=BC=；II、當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，過(guò)點(diǎn)P作過(guò)點(diǎn)P作PG∥AQ交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，易證△PGD≌△QCD，這樣同理可得：此時(shí)BE-CD=BC=5.

試題解析：

（1）（I）如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交BC于點(diǎn)E，

∴，

∴△是等邊三角形，

∴，

又∵的運(yùn)動(dòng)速度相同，且同時(shí)出發(fā)，

∴，

∴，

又∵∠PDF=∠QDC，

∴△PFD≌△QCD，

∴PD=QD；

（II）∵P是AB的中點(diǎn)，△PBF是等邊三角形，

∴BP=BF=5，

∴CF=10-BF=5，

由（I）可知△PFD≌△QCD，

∴DF=DC=CF=；

（2）如圖②，

當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)， =5，理由如下：

由（I）可知：△PFD≌△QCD，

∴DF=DC，

∵PE⊥BF，

∴BE=EF，

∵BF+CF=BC，

∴2BE+2CD=BC=10，

∴BE+CD=5，即BE+CD=BC=5；

如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)， =5，理由如下：

過(guò)點(diǎn)P作PG∥AQ交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠G=∠DCQ=∠ACB=∠B=60°，∠GPD=∠CQD，

∴PG=BP，

∵點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，

∴DQ=BP，

∴PG=QD，

∴△PGD≌△QCD，

∴DC=DG，即CG=2DC，

∵PG=PB，PE⊥BC于點(diǎn)E，

∴BE=GE，即BG=2BE，

∵BG-CG=BC，

∴2BE-2CD=BC，

∴BE-CD=BC=5.