Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，拋物線y=-x²+3bx+2b+$\frac{2}{3}$經過B、C兩點，則正方形OABC的周長為8．

Answer 1

分析 二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸直線x=-$\frac{2a}$，據此根據拋物線的對稱性得到OA的表達式，再根據坐標軸上點的坐標特征可求C點坐標，從而得到OC的表達式，再根據正方形的性質得到OA=OC，依此可得關于b的方程，解方程可求b的值，進一步可求OC的長，再根據正方形的周長公式：C=4a即可求解．

解答 解：拋物線y=-x²+3bx+2b+$\frac{2}{3}$的對稱軸直線x=$\frac{3b}{2}$，
則OA=3b，
當x=0時，y=2b+$\frac{2}{3}$，
則OC=2b+$\frac{2}{3}$，
則3b=2b+$\frac{2}{3}$，
解得b=$\frac{2}{3}$，
∴OA=3b=2，
∴2×4=8．
故正方形OABCD的周長為8．
故答案為：8．

點評 考查了二次函數的性質，坐標軸上點的坐標特征，正方形的性質，正方形的周長計算，解題的關鍵是得到關于b的方程求得b的值．