Question

如圖，已知直線y=

1

2

x+1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y=

1

2

x²+bx+c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為（1，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）動點P在x軸上移動，當△PAE是直角三角形時，求點P的坐標P；
（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM-MC|的值最大，求出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）易得點A（0，1），那么把A，B坐標代入y=

1

2

x²+bx+c即可求得函數(shù)解析式；
（2）讓直線解析式與拋物線的解析式結(jié)合即可求得點E的坐標．△PAE是直角三角形，應(yīng)分點P為直角頂點，點A是直角頂點，點E是直角頂點三種情況探討；
（3）易得|AM-MC|的值最大，應(yīng)找到C關(guān)于對稱軸的對稱點B，連接AB交對稱軸的一點就是M．應(yīng)讓過AB的直線解析式和對稱軸的解析式聯(lián)立即可求得點M坐標．

解答：解：（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標代入y=

1

2

x²+bx+c
得

c=1 1 2 +b+c=0

，
解得

b=- 3 2 c=1

，
∴拋物線的解折式為y=

1

2

x²-

3

2

x+1；（2分）

（2）設(shè)點E的橫坐標為m，則它的縱坐標為

1

2

m²-

3

2

m+1，
即E點的坐標（m，

1

2

m²-

3

2

m+1），
又∵點E在直線y=

1

2

x+1上，
∴

1

2

m²-

3

2

m+1=

1

2

m+1
解得m₁=0（舍去），m₂=4，
∴E的坐標為（4，3）．（4分）
（Ⅰ）當A為直角頂點時，
過A作AP₁⊥DE交x軸于P₁點，設(shè)P₁（a，0）易知D點坐標為（-2，0），
由Rt△AOD∽Rt△P₁OA得

DO

OA

=

OA

OP

即

2

1

=

1

a

，
∴a=

1

2

，
∴P₁（

1

2

，0）．（5分）
（Ⅱ）同理，當E為直角頂點時，過E作EP₂⊥DE交x軸于P₂點，
由Rt△AOD∽Rt△P₂ED得，

DO

OA

=

DE

EP2

即

2

1

=

3 5

EP2

，
∴EP₂=

3 5

2

，
∴DP₂=

3 5 × 5

2

=

15

2

∴a=

15

2

-2=

11

2

，
P₂點坐標為（

11

2

，0）．（6分）
（Ⅲ）當P為直角頂點時，過E作EF⊥x軸于F，設(shè)P₃（b、0），
由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，
由

AO

PF

=

OP

EF

得

1

4-b

=

b

3

，
解得b₁=3，b₂=1，
∴此時的點P₃的坐標為（1，0）或（3，0），（8分）
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（

1

2

，0）或（1，0）或（3，0）或（

11

2

，0）；

（3）拋物線的對稱軸為x=

3

2

，（9分）
∵B、C關(guān)于x=

3

2

對稱，
∴MC=MB，
要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大，
由三角形兩邊之差小于第三邊得，當A、B、M在同一直線上時|AM-MB|的值最大．（10分）
易知直線AB的解折式為y=-x+1
∴由

y=-x+1 x= 3 2

，
得

x= 3 2 y=- 1 2

，
∴M（

3

2

，-

1

2

）．（11分）

點評：一個三角形是直角三角形，應(yīng)分不同頂點為直角等多種情況進行分析；
求兩條線段和或差的最值，都要考慮做其中一點關(guān)于所求的點在的直線的對稱點．