Question

【題目】如圖，直線y=kx+3與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，tan∠OAB= ，點(diǎn)C（x，y）是直線y=kx+3上與A，B不重合的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求直線y=kx+3的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)△AOC的面積是6；
（3）過點(diǎn)C的另一直線CD與y軸相交于D點(diǎn)，是否存在點(diǎn)C使△BCD與△AOB相似，且△BCD的面積是△AOB的面積的 ？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=kx+3與y軸分別交于B點(diǎn)，

∴B（0，3），

∵tan∠OAB= ，

∴OA=4，

∴A（4，0），

∵直線y=kx+3過A（4，0），

∴4k+3=0，

∴k=﹣ ，

∴直線的解析式為：y=﹣ x+3

（2）

解：∵A（4，0），

∴AO=4，

∵△AOC的面積是6，

∴△AOC的高為：3，

∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，

∵直線的解析式為：y=﹣ x+3，

∴3=﹣ x+3，

x=0，

∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，△AOC的面積是6（C是與A、B不重合的動(dòng)點(diǎn)，所以不符合題意）；

如圖1，當(dāng)C點(diǎn)移動(dòng)到x軸下方時(shí)，作CE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵△AOC的面積是6，

∴ EC×AO=6，

解得：EC=3，

∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為：﹣3，

∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為：﹣3=﹣ x+3，

∴x=8，

∴點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，﹣3）時(shí)，△AOC的面積是6

（3）

解：①如圖2，當(dāng)CD⊥y軸于點(diǎn)D時(shí)，△BCD∽△BAO，

∵△BCD的面積是△AOB的面積的 ，

∴相似比= ，∴BD= BO=1.5，CD= OA=2，

∴C（﹣2，4.5）；

②當(dāng)CD⊥y軸于點(diǎn)D時(shí)，△BCD∽△BAO，

∵△BCD的面積是△AOB的面積的 ，

∴相似比= ，∴BD= BO=1.5，CD= OA=2，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1.5）；

③當(dāng)CD⊥AB時(shí)，△BDC∽△BAO，

∵△BCD的面積是△AOB的面積的 ，

∴相似比= ，

∴BC=1.5，AC=6.5，

過C作CF⊥OA，

則OB∥CF，

∴CF=3.9，F(xiàn)A=5.2，

∴OF=1.2，

∴C（﹣1.2，3.9）；

④當(dāng)DC⊥AB于點(diǎn)C，△BCD∽△BAO，作CM⊥x軸，

當(dāng)CB=1.5，BD=2.5，

∴BO∥C′M，

則有OM=1.2，C′M=2.1，

∴C（1.2，2.1）．

【解析】（1）根據(jù)直線y=kx+3與y軸分別交于B點(diǎn)，以及tan∠OAB= ，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)△AOC的面積是6，得出三角形的高，即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）利用△BCD與△AOB相似，利用C點(diǎn)不同位置，得出3種不同圖形，進(jìn)而利用相似，得出C點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解一次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，以及對(duì)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的理解，了解一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)．