Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c經過點B（0，3）和點A（3，0）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式和直線的函數(shù)表達式；

（2）若點P是拋物線落在第一象限，連接PA，PB，求△PAB的面積S的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；y=-x+3（2）當a=時，S△PAB有最大值，最大值為，此時點P坐標為（，）

【解析】

（1）由A、B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式；

（2）過P點作PN⊥OA于N，交直線B于M，設點P橫坐標為a，則可分別表示出P、M的縱坐標，從而表示出PM的長，根據S△PAB=S△PAM+S△PBM得到S=PMOA=-(a-）2+，利用二次函數(shù)的性質可求得其最大值，及此時的點P的坐標．

（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經過點B（0，3）和點A（3，0），

∴，解得，

∴拋物線的函數(shù)表達式是y=-x2+2x+3；

設直線AB：y=kx+m，

根據題意得，解得，

∴直線AB的函數(shù)表達式是y=-x+3；

（2）如圖，過P點作PN⊥OA于N，交直線B于M，設點P橫坐標為a，則點P的坐標為（a，-a2+2a+3），點M的坐標是（a，-a+3），

又點P，M在第一象限，

∴PM=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a，

∴S△PAB=S△PAM+S△PBM=PMOA=（-a2+3a）×3=-（a-）2+，

∴當a=時，S△PAB有最大值，最大值為，

此時點P坐標為（，）．