Question

【題目】已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數(shù)根，且|m|＜|n|，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0），B（0，n），如圖所示．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）若點D是直線BC下方拋物線上的動點，求△BCD面積最大時，點D的坐標及最大面積分別是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）D,最大面積為 .

【解析】

（1）先解一元二次方程，然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）先求出點C坐標，然后設(shè)D點為（x，y），過點D作DE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥DE，交DE于點F，利用間接法求△BCD的面積，得到面積與x的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，化為頂點式，即可得到點D的坐標和面積的最大值.

解（1）∵x2+4x+3=0，

∴x1=-1，x2=-3，

∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數(shù)根，且|m|＜|n|，

∴m=-1，n=-3，

∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0），B（0，n），

∴，解得：，

∴拋物線解析式為：；

（2）∵，

令，則，

解得：或，

∴點C坐標為：（3，0），

∵點B為（0，-3），

設(shè)D點坐標為：（x，y），點D在第四象限，

如圖：過點D作DE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥DE，交DE于點F，

∴，，，，，

∴，

∴

整理，得：，

∵，且，

∴，

∴，

∴；

∵，

∴當時，△BCD的面積取到最大值，

最大面積為：；

∴，

∴點D的坐標為：；

∴點D的坐標為：；△BCD的最大面積為.