Question

【題目】（探究）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示），通過觀察比較圖2與圖1中的陰影部分面積，可以得到乘法公式　 　．（用含a，b的等式表示）

（應用）請應用這個公式完成下列各題：

（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，則2m﹣n的值為　 　．

（2）計算：20192﹣2020×2018．

（拓展）計算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．

Answer 1

【答案】探究：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；應用：（1）3；（2）1；拓展：5050

【解析】

探究：將兩個圖中陰影部分面積分別表示出來，建立等式即可；

應用：（1）利用平方差公式得出（2m+n）（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；

（2）可將2020×2018寫成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平法差公式求值；

拓展：利用平方差公式將1002﹣992寫成（100+99）×（100﹣99），以此類推，然后化簡求值．

解：探究：圖1中陰影部分面積a2﹣b2，圖2中陰影部分面積（a+b）（a﹣b），

所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

故答案為（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．

應用：（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12

∵（2m+n）（2m+n）＝4m2﹣n2

∴2m﹣n＝3

故答案為3．

（2）20192﹣2020×2018

＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）

＝20192﹣（20192﹣1）

＝20192﹣20192+1

＝1

拓展：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12

＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）

＝100+99+98+97+…+4+3+2+1

＝5050