Question

【題目】 P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．

（1）證明：PD＝DQ．

（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE＝3．

【解析】

（1）過點(diǎn)P作PF∥BC交AC于點(diǎn)F；證出△APF也是等邊三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS證明△PDF≌△QDC，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；

（2）過P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS證明△PFD≌△QCD，得出對(duì)應(yīng)邊相等FD=CD，證出AE+CD=DEAC，即可得出結(jié)果．

（1）如圖1所示，點(diǎn)P作PF∥BC交AC于點(diǎn)F．

∵△ABC是等邊三角形，

∴△APF也是等邊三角形，AP=PF=AF=CQ．

∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．

在△PDF和△QDC中，，

∴△PDF≌△QDC（AAS），

∴PD=DQ；

（2）如圖2所示，過P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，

∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，

∴AP=PF=AF．

∵PE⊥AC，∴AE=EF．

∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．

在△PFD和△QCD中，，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD=CD．

∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，

∴AE+CD=DEAC．

∵AC=6，∴DE=3．