Question

3．在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在BC邊的延長線上，CE=BC，連接AE，交CD邊于點F，且CF=DF．
（1）如圖1，求證：AD=BC；
（2）如圖2，連接BD、DE，若BD⊥DE，請判定四邊形ABCD的形狀，并證明．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)得出∠D=∠ECF，由ASA證明△ADF≌△ECF，得出AD=CE，即可得出結(jié)論；
（2）首先四邊形ABCD是平行四邊形，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD=$\frac{1}{2}$BE=BC，即可得出四邊形ABCD是菱形．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECF}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\\{∠AFD=∠EFC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AD=CE，
∵CE=BC，
∴AD=BC；
（2）解：四邊形ABCD是菱形；理由如下：
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE=90°，
∵CE=BC，
∴CD=$\frac{1}{2}$BE=BC，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、菱形的判定；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．