Question

如圖，在等腰三角形ABC中，底邊BC=8cm，腰長(zhǎng)為5cm，以BC所在直線為x軸，以BC邊上的高所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．
（2）一動(dòng)點(diǎn)P以0.25cm/s的速度沿底邊從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（P點(diǎn)不運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)），設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）．
①寫出△APC的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍．
②當(dāng)t為何值時(shí)，△APB為等腰三角形？并寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
③當(dāng)t為何值時(shí)PA與一腰垂直？

Answer 1

分析：（1）等腰三角形的高線，中線，角平分線在重合．從而可寫出坐標(biāo)．
（2）①根據(jù)BC的長(zhǎng)可求出t的取值范圍，根據(jù)三角形的面積公式可表示出S和t的關(guān)系式．
②因?yàn)镻與C不能重合，所以只有一種情況BP=AP．
③當(dāng)PA⊥AC時(shí)和PA⊥AB時(shí)，分兩種情況求出解．

解答：解：（1）A（0，3），B（-4，O），C（4，O）；

（2）①BP=0.25t，PC=8-0.25t．S=

1

2

PC•AO=

1

2

（8-0.25t）×3=-

3

8

t+12（0＜t＜32）．
②當(dāng)AP=AB時(shí)，P與B或C重合，不可能；
當(dāng)BP=AP時(shí)，0.25t=

(4-0.25t)2+32

，解得t=12.5．此時(shí)PO=4-0.25t=

7

8

，
∴P（-

7

8

，0）．當(dāng)BP=AB時(shí)，BP=5，
∴PO=1，即P（1，0）．
③當(dāng)PA⊥AC時(shí)，PA²+AC²=PC²，即（4-0.25t）²+3²+5²=（8-0.25t）²，
∴t=7．當(dāng)PA⊥AB時(shí)，PA²+AB²=PB²，
即（0.25t-4）²+3²+5²=（0.25t）²，
∴t=25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)的綜合題，考查了點(diǎn)的坐標(biāo)等腰三角形的判定和勾股定理的知識(shí)點(diǎn)．