Question

【題目】已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．

（1）如圖1，當(dāng)b=2a，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明∠BMC=90°；

（2）如圖2，當(dāng)b＞2a時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，請(qǐng)給與證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3，當(dāng)b＜2a時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°。

∴∠BMC=90°。

（2）解：存在，理由如下：

若∠BMC=90°，則∠AMB=∠DMC=90°。

又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC。

又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC。∴。

設(shè)AM=x，則，整理得：x2﹣bx+a2=0。

∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＞0。

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

又∵兩根之積等于a2＞0，∴兩根同號(hào)。

又∵兩根之和等于b ＞0，∴兩根為正。符合題意。

∴當(dāng)b＞2a時(shí)，存在∠BMC=90°。

（3）解：不成立．理由如下：

若∠BMC=90°，由（2）可知x2﹣bx+a2=0，

∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

∴當(dāng)b＜2a時(shí)，不存在∠BMC=90°，即（2）中的結(jié)論不成立。

【解析】試題分析：（1）由b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，則可求得∠BMC=90°；

（2）由∠BMC=90°，易證得△ABM∽△DMC，設(shè)AM=x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可確定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意；

（3）由（2），當(dāng)b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情況，即可求得答案．

試題解析：（1）∵b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）存在，

理由：若∠BMC=90°，

則∠AMB+∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABM∽△DMC，

∴，

設(shè)AM=x，則，

整理得：x2﹣bx+a2=0，

∵b＞2a，a＞0，b＞0，

∴△=b2﹣4a2＞0，

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意，

∴當(dāng)b＞2a時(shí)，存在∠BMC=90°，

（3）不成立．

理由：若∠BMC=90°，

由（2）可知x2﹣bx+a2=0，

∵b＜2a，a＞0，b＞0，

∴△=b2﹣4a2＜0，

∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

∴當(dāng)b＜2a時(shí)，不存在∠BMC=90°，即（2）中的結(jié)論不成立．