Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F．

（1）求證：DE為⊙O的切線．

（2）若BF＝2，tan∠BDF＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）3

【解析】

（1）連AD，OD，則∠ADB＝∠ADC＝90°，由直角三角形斜邊上的中線性質得：EA＝ED，∠EDA＝∠EAD，由等腰三角形的性質得：∠ODA＝∠OAD，證得∠EDO＝∠EAO，即可得出結論；

（2）由切線的性質得：∠ODF＝∠FDB+∠ODB＝∠FAD+∠OBD＝90°，證出∠FDB＝∠FAD，∠F為公共角，得出△FDB∽△FAD，由對應邊成比例即可得出結論．

（1）證明：連AD，OD，如圖所示：

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵E是AC的中點，

∴EA＝ED，

∴∠EDA＝∠EAD，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠EDO＝∠EAO，

∵AB⊥AC，

∴∠EAO＝90°，

∴∠EDO＝90°，

∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵DE為⊙O的切線，

∴∠ODF＝∠FDB+∠ODB＝∠FAD+∠OBD＝90°，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠FDB＝∠FAD，

∵tan∠BDF＝，

∴＝

又∵∠F為公共角，

∴△FDB∽△FAD，

∴＝，

∵BF＝2

∴＝

∴DF＝4，AF＝8

∴AB＝8﹣2＝6

∴⊙O的半徑是3．