Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AC是⊙O的直徑，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABC∽△DEB；
（2）求證：BE是⊙O的切線；
（3）求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：BDE=∠CAB（圓周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，

∴△ABC∽△DEB；

（2）證明：連結(jié)OB，OD，

在△ABO和△DBO中，

，

∴△ABO≌△DBO（SSS），

∴∠DBO=∠ABO，

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，

∴∠DBO=∠BDC，

∴OB∥ED，

∵BE⊥ED，

∴EB⊥BO，

∴OB⊥BE，

∴BE是⊙O的切線．

（3）解：∵△BED∽△CBA，

∴ ，

即 = ，

解得：DE= ．

【解析】（1）根據(jù)BDE=∠CAB（圓周角定理）且∠BED=∠CBA=90°即可得出結(jié)論；（2）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷OB⊥DE，可得出結(jié)論．（3）根據(jù)△BED∽△CBA，利用對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可求出DE的長度．
【考點(diǎn)精析】利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．