Question

（2013•長寧區(qū)二模）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別是BC、BA的中點，聯結DE，F在DE延長線上，且AF=AE．
（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）若四邊形ACEF是菱形，求∠B的度數．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE=AE=BE，從而得到AF=CE，再根據等腰三角形三線合一的性質可得∠1=∠2，根據等邊對等角可得然后∠F=∠3，然后求出∠2=∠F，再根據同位角相等，兩直線平行求出CE∥AF，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是菱形證明；
（2）根據菱形的四條邊都相等可得AC=CE，然后求出AC=CE=AE，從而得到△AEC是等邊三角形，再根據等邊三角形的每一個角都是60°求出∠CAE=60°，然后根據直角三角形兩銳角互余解答．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，E是BA的中點，
∴CE=AE=BE，
∵AF=AE，
∴AF=CE，
在△BEC中，∵BE=CE且D是BC的中點，
∴ED是等腰△BEC底邊上的中線，
∴ED也是等腰△BEC的頂角平分線，
∴∠1=∠2，
∵AF=AE，
∴∠F=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠F，
∴CE∥AF，
又∵CE=AF，
∴四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形ACEF是菱形，
∴AC=CE，
由（1）知，AE=CE，
∴AC=CE=AE，
∴△AEC是等邊三角形，
∴∠CAE=60°，
在Rt△ABC中，∠B=90°-∠CAE=90°-60°=30°．

點評：本題考查了菱形的性質，平行四邊形的判定，等邊三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及直角三角形兩銳角互余的性質，熟記各性質與判定方法是解題的關鍵．