Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C₁：y₁=-x²+2x．
（1）將拋物線C₁先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到拋物線C₂，求拋物線C₂的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)及它的解析式．
（2）如果x軸上有一動點(diǎn)M，那么在兩條拋物線C₁、C₂上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形（OP為一邊）？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用配方法，把y₁化為頂點(diǎn)式，直接利用二次函數(shù)平移的規(guī)律求出平移后的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)問題得解；
（2）假設(shè)符合條件的N點(diǎn)存在，利用平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等，找出點(diǎn)N到x軸的距離，即拋物線的縱坐標(biāo)，代入解析式，解方程解決問題即可．

解答：解：（1）依題意拋物線：y₁=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）
當(dāng)把C₁向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位時(shí)，
拋物線C₂的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）
∴C₂的解析式為y₂=-（x-3）²+2；

（2）符合條件的N點(diǎn)存在．
如圖：若四邊形OPMN為符合條件的平行四邊形，則OP∥MN，且OP=MN，
∴∠POA=∠BMN，作PA⊥x軸于點(diǎn)A，NB⊥x軸于點(diǎn)B
∴∠PAO=∠MBN=90°，
∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2），
∴NB=PA=2，
∵點(diǎn)N在拋物線y₁、y₂上，且P點(diǎn)為y₁、y₂的最高點(diǎn)
∴符合條件的N點(diǎn)只能在x軸下方，
當(dāng)點(diǎn)N在C₁上時(shí)，y1=-2，即-2=-（x-1）²+1，
解得：x=1±

3

，
∴N₁（1+

3

，-2），N₂（1-

3

，-2）；
當(dāng)點(diǎn)N在C₂上時(shí)，y2=-2，即=-（x-3）²+2=-2，
解得：x=5或1，
∴N₃（5，-2），N₄（1，-2），
∴滿足條件的點(diǎn)N有4個(gè)，分別是N₁（1+

3

，-2）、N₂（1-

3

，-2）、N₃（5，-2）、N₄（1，-2）．

點(diǎn)評：此題考查利用平移的規(guī)律求二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式，利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等與性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解決問題．