Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的與邊分別交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求證：為的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）與相切，理由詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）連結(jié)OD、AD，如圖，先利用圓周角定理得到∠ADB＝90°，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD＝CD，再證明OD為△ABC的中位線(xiàn)得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理可判斷DH為⊙O的切線(xiàn)；
（2）連結(jié)DE，如圖，有圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠DEC＝∠B，再證明∠DEC＝∠C，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CH＝EH；

（1）解：DH與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OD、AD，如圖，

∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
而AO＝BO，
∴OD為△ABC的中位線(xiàn)，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH為⊙O的切線(xiàn)；

（2）證明：連接．

∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，

．

，

，

，

．

，

，即為的中點(diǎn)．