Question

【題目】 （2016遼寧營口第25題）已知：如圖①，將∠D=60°的菱形ABCD沿對角線AC剪開，將△ADC沿射線DC方向平移，得到△BCE，點M為邊BC上一點（點M不與點B、點C重合），將射線AM繞點A逆時針旋轉60°，與EB的延長線交于點N，連接MN．

（1）①求證：∠ANB=∠AMC；

②探究△AMN的形狀；

（2）如圖②，若菱形ABCD變?yōu)檎�方形ABCD，將射線AM繞點A逆時針旋轉45°，原題其他條件不變，（1）中的①、②兩個結論是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請寫出變化后的結論并證明．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②△AMN是等邊三角形；（2）①成立，②不成立，△AMN是等腰直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）①先由菱形可知四邊相等，再由∠D=60°得等邊△ADC和等邊△ABC，則對角線AC與四邊都相等，利用ASA證明△ANB≌△AMC，得結論；

②根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出：△AMN是等邊三角形；

（2）①成立，根據(jù)正方形得45°角和射線AM繞點A逆時針旋轉45°，證明△ANB∽△AMC，得∠ANB=∠AMC；

②不成立，△AMN是等腰直角三角形，利用①中的△ANB∽△AMC，得比例式進行變形后，再證明△NAM∽△BAD，則△AMN是等腰直角三角形．

試題解析：（1）如圖1，①∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠D=60°，∴△ADC和△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠NAM=60°，∴∠NAB=∠CAM，由△ADC沿射線DC方向平移得到△BCE，可知∠CBE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠ABN=60°，∴∠ABN=∠ACB=60°，∴△ANB≌△AMC，∴∠ANB=∠AMC；

②如圖1，△AMN是等邊三角形，理由是：

由△ANB≌△AMC，∴AM=AN，∵∠NAM=60°，∴△AMN是等邊三角形；

（2）①如圖2，∠ANB=∠AMC成立，理由是：

在正方形ABCD中，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=45°，∵∠NAM=45°，∴∠NAB=∠MAC，由平移得：∠EBC=∠CAD=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠ABN=∠ACM=45°，∴△ANB∽△AMC，∴∠ANB=∠AMC；

②如圖2，不成立，△AMN是等腰直角三角形，理由是：

∵△ANB∽△AMC，∴，∴，∵∠NAM=∠BAC=45°，∴△NAM∽△BAC，∴∠ANM=∠ABC=90°，∴△AMN是等腰直角三角形．