Question

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點O是斜邊AB上一動點，以OA為半徑作⊙O與AC邊交于點P，
（1）當OA=時，求點O到BC的距離；
（2）如圖1，當OA=時，求證：直線BC與⊙O相切；此時線段AP的長是多少？
（3）若BC邊與⊙O有公共點，直接寫出OA的取值范圍；
（4）若CO平分∠ACB，則線段AP的長是多少？

Answer 1

解：
（1）在Rt△ABE中，．
過點O作OD⊥BC于點D，則OD∥AC，
∴△ODB∽△ACB，∴，∴，∴，
∴點O到BC的距離為．

（2）證明：過點O作OE⊥BC于點E，OF⊥AC于點F，
∵△OEB∽△ACB，∴∴，∴．
∴直線BC與⊙O相切．
此時，四邊形OECF為矩形，
∴AF=AC-FC=3-=，
∵OF⊥AC，∴AP=2AF=．

（3）；

（4）過點O作OG⊥AC于點G，OH⊥BC于點H，
則四邊形OGCH是矩形，且AP=2AG，
又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．
設正方形OGCH的邊長為x，則AG=3-x，
∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，
∴，∴，
∴，∴，∴AP=2AG=．
分析：（1）過點O作OD⊥BC于點D，易證△ODB∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求解；
（2）首先證明直線BC與⊙O相切，則四邊形OECF為矩形，即可求得AF，進而求得AP的長；
（3）首先求得圓的半徑，根據(jù)BC邊與⊙O有公共點即直線與圓相切或相交，則圓心到直線的距離小于或等于圓的半徑，即可求解；
（4）過點O作OG⊥AC于點G，OH⊥BC于點H，則四邊形OGCH是矩形，矩形OGCH是正方形，設正方形OGCH的邊長為x，則AG=3-x，易證
△AOG∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應邊的比相等即可求解．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，并且與矩形、正方形的判定相結(jié)合，是一個綜合性較強的題目．