Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A，與直線y=相交于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)在x軸上以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)在OC上以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，向O勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2）．

（1）直接寫出點(diǎn)C坐標(biāo)及OC、BC長(zhǎng)；

（2）連接PQ，若△OPQ與△OBC相似，求t的值；

（3）連接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）C（，），8，10；（2）t的值為或1s時(shí)，△OPQ與△OBC相似；（3）t=s時(shí)，PC⊥BQ．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，方程組、兩點(diǎn)間距離公式即可解決問(wèn)題；

（2）分兩種情形①當(dāng)OPOC＝OQOB時(shí)，△OPQ∽△OCB，②當(dāng)OPOB＝OQOC時(shí)，△OPQ∽△OBC，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

（3）如圖作PH⊥OC于H．首先證明∠OCB＝90°，推出∠PCH＝∠CBQ時(shí)，PC⊥BQ．由PH∥BC，可得OPOB＝PHBC＝OHOC，可得5t10＝PH6＝OH8，推出PH＝3t，OH＝4t，根據(jù)tan∠PCH＝tan∠CBQ，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

（1）對(duì)于直線y=﹣x+，令x=0，得到y=，

∴A（0，），

令y=0，則x=10，

∴B（10，0），

由，解得，

∴C（，）．

∴OC==8，

BC==10．

（2）①當(dāng)時(shí)，△OPQ∽△OCB，

∴，

∴t=．

②當(dāng)時(shí)，△OPQ∽△OBC，

∴，

∴t=1，

綜上所述，t的值為或1s時(shí)，△OPQ與△OBC相似．

（3）如圖作PH⊥OC于H．

∵OC=8，BC=6，OB=10，

∴OC2+BC2=OB2，

∴∠OCB=90°，

∴當(dāng)∠PCH=∠CBQ時(shí)，PC⊥BQ．

∵∠PHO=∠BCO=90°，

∴PH∥BC，

∴，

∴，

∴PH=3t，OH=4t，

∴tan∠PCH=tan∠CBQ，

∴，

∴t=或0（舍棄），

∴t=s時(shí)，PC⊥BQ．