Question

如圖，已知OA=10，P是射線(xiàn)ON上的一動(dòng)點(diǎn)（即P點(diǎn)在射線(xiàn)ON上運(yùn)動(dòng)），且∠AON=60°．
（1）當(dāng)OP=

10

時(shí)，△AOP為等邊三角形，此時(shí)∠APO的度數(shù)為

60°

；
（2）當(dāng)△AOP為直角三角形時(shí)，OP=

5或20

，此時(shí)∠APO的度數(shù)為

90°或30°

．

Answer 1

分析：（1）由∠AON=60°，可得當(dāng)OP=OA=10時(shí)，△AOP為等邊三角形；
（2）分別從若AP⊥ON與若PA⊥OA去分析求解，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得OP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵∠AON=60°，
∴當(dāng)OP=OA=10時(shí)，△AOP為等邊三角形；
故答案為：10，60°；

（2）若AP⊥ON，
∵∠AON=60°，
∴OP=OA•cos60°=

1

2

×10=5，∠APO的度數(shù)為90°；
若PA⊥OA，則OP=

OA

cos60°

=20，
∴當(dāng)OP=5或20時(shí)，△AOP為直角三角形，∠APO的度數(shù)為30°．
故答案為：5或20，90°或30°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．