Question

（2007•鹽城）如圖，矩形EFGH的邊EF=6cm，EH=3cm，在?ABCD中，BC=10cm，AB=5cm，sin∠ABC=，點(diǎn)E、F、B、C在同一直線上，且FB=1cm，矩形從F點(diǎn)開始以1cm/s的速度沿直線FC向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)邊GF所在直線到達(dá)D點(diǎn)時(shí)即停止．
（1）在矩形運(yùn)動(dòng)過程中，何時(shí)矩形的一邊恰好通過?ABCD的邊AB或CD的中點(diǎn)．
（2）若矩形運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C-D-A-B的路線，以cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，矩形停止時(shí)點(diǎn)Q也即停止運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q在矩形一邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少s？
（3）在矩形運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形與平行四邊形重疊部分為五邊形時(shí)，求出重疊部分面積S（cm²）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出時(shí)間t的范圍．是否存在某一時(shí)刻，使得重疊部分的面積S=16.5cm²？若存在，求出時(shí)間t，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）何時(shí)矩形的一邊恰好通過?ABCD的邊AB或CD的中點(diǎn)，題目本身就不明確，到底是GF還是HE，經(jīng)過了AB的中點(diǎn)還是CD的中點(diǎn)，所以必須分情況討論，即①當(dāng)GF邊通過AB邊的中點(diǎn)②當(dāng)EH邊通過AB邊的中點(diǎn)③當(dāng)GF邊通過CD邊的中點(diǎn)
（2）點(diǎn)Q在矩形一邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少s，這里的“一邊”是哪一邊，必須分情況進(jìn)行解釋，所以也有三種情況．
（3）設(shè)當(dāng)矩形運(yùn)動(dòng)到t（s）（7＜t＜11）時(shí)與平行四邊形的重疊部分為五邊形，則BE、AH都可用含有t的式子表示出來．在矩形EFGH中易證△AHP∽△BEP根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例，可求出EP的長，因此面積可表示出來．
解答：解：（1）作AM⊥BC，∵AB=5，sin∠ABC=3/5，
∴BM=4，AM=3（1分）
①當(dāng)GF邊通過AB邊的中點(diǎn)N時(shí)，
有BF=BM=2，
∴t₁=3（s）．（2分）
②當(dāng)EH邊通過AB邊的中點(diǎn)N時(shí)，
有BE=BM=2
∴BF=2+6=8
∴t₂=8+1=9（s）．（3分）
③當(dāng)GF邊通過CD邊的中點(diǎn)K時(shí)，
有CF=2
∴t₃=1+10+2=13（s）
綜上，當(dāng)t等于3s或9s或13s時(shí)，矩形的一邊恰好通過平行四邊形的邊AB或CD的中點(diǎn)（每少一種情況扣1分）．（4分）

（2）點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D所需的時(shí)間為：
5÷（）=10（s）
此時(shí)，DG=1+14-10=5
點(diǎn)Q從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始到與矩形相遇所需的時(shí)間為：（6分）
∴矩形從與點(diǎn)Q相遇到運(yùn)動(dòng)停止所需的時(shí)間為：
從相遇到停止點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為：，＜6
即點(diǎn)Q從相遇到停止一直在矩形的邊GH上運(yùn)動(dòng)
∴點(diǎn)Q在矩形的一邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：．（不交待理由扣1分）（8分）

（3）設(shè)當(dāng)矩形運(yùn)動(dòng)到t（s）（7＜t＜11）時(shí)與平行四邊形的重疊部分為五邊形
則BE=t-7，AH=4-（t-7）=11-t
在矩形EFGH中，有AH∥BF
∴△AHP∽△BEP
∴=，
∴=，
∴PH=，
∴S=18-，
=-（t-11）²+18（7＜t＜11）（10分）
由對(duì)稱性知當(dāng)11＜t＜15時(shí)重疊部分仍為五邊形
綜上S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=-（t-11）²+18（7＜t＜15且t≠11）（12分）
（t的取值范圍不正確扣2分）
把s=16.5代入得：16.5=-（t-11）²+18，
解得：t=9或13，
故當(dāng)t=9或13時(shí)重疊部分的面積為16.5cm²．（13分）
點(diǎn)評(píng)：此題在解答過程中，一定要注意分情況討論，另外還考查了二次函數(shù)的一些基本應(yīng)用，考查比較全面，難易程度適中．