Question

【題目】內(nèi)接于⊙，是直徑，，點(diǎn)在⊙上.

(1)如圖，若弦交直徑于點(diǎn)，連接，線段是點(diǎn)到的垂線.

①問(wèn)的度數(shù)和點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

②若的面積是的面積的倍，求的正弦值.

(2)若⊙的半徑長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）沒(méi)有關(guān)系，∠CDF=∠CAB=60°；（2）；（3）或

【解析】

（1）①根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角解答即可；②利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC與BC、DF與CF的關(guān)系，利用三角形的面積公式得出，然后根據(jù)正弦的定義可求出的正弦值；

（2）分兩種情況求解：①當(dāng)D點(diǎn)在直徑AB下方的圓弧上時(shí)；當(dāng)D點(diǎn)在直徑AB上方的圓弧上時(shí).

解：（1）①?zèng)]有關(guān)系，理由如下：

當(dāng)D在直徑AB的上方時(shí)，如下圖，

∵AB為直徑，∴∠ACB=90°；

∵∠ABC=30°，∴∠CAB=60°；

∴∠CDF=∠CAB=60°；

當(dāng)D在直徑AB的下方時(shí)，如下圖

∵∠CAB=60°，

∴∠CDB=180°-∠CAB=120°,

∴∠CDF=60°.

②∵CF⊥BD，AB為直徑；∴ ∠ACB=∠CFD=90°；

由①得，∠CDF=∠CAB=60°，

∴ ；；

∵；；

∴；∴

（2）∵半徑為2，，

∴弧CD所對(duì)圓心角

①當(dāng)D點(diǎn)在直徑AB下方的圓弧上時(shí)；

如圖，連結(jié)OD，過(guò)D作DE⊥AB于E；

由（1）知，，∴；

∴；

OD=2，∴，，；

∴；

②當(dāng)D點(diǎn)在直徑AB上方的圓弧上時(shí)，

如圖，連結(jié)OD，過(guò)D作DF⊥AB于F；

此時(shí)；

∴，，；

∴；

綜上所述：BD的長(zhǎng)為或.