Question

已知：拋物線y＝x²－(2m＋4)x＋m²－10與x軸交于A、B兩點(diǎn)，C是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)用配方法求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；

(2)“若AB的長為2，求拋物線的解析式．”解法的部分步驟如下，補(bǔ)全解題過程，并簡述步驟①的解題依據(jù)，步驟②的解題方法．

　　解：由(1)知，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D(　　，0)．

　　∵拋物線的對稱性及AB＝2，

　　∴AD＝BD＝|x_A－x_D|＝．

　　∵點(diǎn)A(x_A，0)在拋物線y＝(x－h(huán))²＋k上，

　　∴0＝(x_A－h(huán))²＋k．　　①

　　∵h(yuǎn)＝x_C＝x_D，將|x_A－x_D|＝代入上式，得到關(guān)于m的方程

　　0＝()²＋(　　)　�、�

(3)將(2)中的條件“AB的長為2”改為“△ABC為等邊三角形”，用類似的方法求出此拋物線的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 　　∵y＝x2－(2m＋4)x＋m2－10 　　＝[x－(m＋2)]2－4m－14． 　　∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m＋2，－4m－14)． 　　(2)由(1)知，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D(m＋2，0)． 　　∵拋物線的對稱性及AB＝2， 　　∴AD＝DB＝|xA－xD|＝． 　　∵點(diǎn)A(xA，0)在拋物線y＝(x－h(huán))2＋k上， 　　∴0＝(xA－h(huán))2＋k．　�、� 　　∴h＝xC＝xD，將|xA－xD|＝代入上式，得到關(guān)于m的方程 　　0＝()2＋(－4m－14)．　�、� 　　解得m＝－3． 　　當(dāng)m＝－3時(shí)，拋物線y＝x2＋2x－1與x軸有交點(diǎn)，且AB＝2，符合題意． 　　∴所求拋物線的解析式為 　　y＝x2＋2x－1． 　　步驟①的解題依據(jù)；拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足此函數(shù)解析式； 　　步驟②的解題方法：代入法． 　　(3)∵△ABC是等邊三角形， 　　∴由(1)知 　　CD＝|－4m－14| 　　＝4m＋14(－4m－14＜0)， 　　AD＝BD＝CD＝(4m＋14) 　　＝|xA－xD|． 　　∵點(diǎn)A(xA，0)在拋物線上， 　　∴0＝(xA－h(huán))2＋k． 　　∵h(yuǎn)＝xC＝xD， 　　將|xA－xD|＝(4m＋14)代入上式， 　　得0＝(4m＋14)2－4m－14． 　　∵－4m－14＜0， 　　∴(4m＋14)－1＝0 　　解得m＝－． 　　當(dāng)m＝－時(shí)，拋物線y＝x2＋x－與x軸有交點(diǎn)，且符合題意． 　　∴所求拋物線的解析式為 　　y＝x2＋x－．