Question

【題目】如圖，正方形中．對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)．點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段，線段上，且，連接交于，連接交于，

（1）如圖1，若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，求的長(zhǎng)；

（2）如圖2，若平分，求證：；

（3）如圖3，點(diǎn)在線段(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)．連接，當(dāng)線段長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）BF=-1；（2）證明見(jiàn)解析；（3）cos∠HDO=．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OA=OB，AB=OB，由點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)可得OE=OB，利用勾股定理列方程可求出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)AF=OE，即可求出BF的長(zhǎng)；

（2）如圖，延長(zhǎng)DG，交AB于M，根據(jù)角平分線的定義及外角的性質(zhì)可得AD=DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角的和差關(guān)系可證明DG垂直平分AE，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可證明∠AMG=∠AHG，可得AM=AH，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得MG=GH，根據(jù)∠BFO=∠AMG可得FG=MG，即可得出FG=GH；

（3）如圖，連接BH，可知BH≥HE，可得當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，HE取得最大值，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，OB=AF，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BD于N，設(shè)OB=x，則AB=x，BF=，由∠ABD=45°可得△BFN是等腰直角三角形，可得BN=BF，根據(jù)DN=BD-BN可表示出DN的長(zhǎng)，利用勾股定理可得DF=，根據(jù)余弦的定義即可得答案．

（1）四邊形ABCD時(shí)正方形，

∴OA=OB，AB=OB，

∵點(diǎn)為線段中點(diǎn)，

∴OE=OB=OA，

∵AE=，

∴OE2+（2OE）2=AE2，即5OE2=5，

解得：OE=1，（負(fù)值舍去）

∴OB=2，AB=，

∵AF=OE，

∴BF=AB-AF=-1．

（2）如圖，延長(zhǎng)DG，交AB于M，

∵AE平分∠BAC，∠BAC=45°，

∴∠BAE=∠EAO=22.5°，

∵∠AED=∠ABE+∠BAE=45°+22.5°=67.5°，∠DAE=∠DAO+∠EAO=45°+22.5=67.5°，

∴∠AED=∠DAE，

∴AD=DE=AB，

∵OE=AF，

∴AB-AF=DE-OE，即OD=BF，

∵OD=OB，

∴OB=BF，

∴∠BOF=∠BFO=（180°-45°）=67.5°，

∴∠AOG=90°-∠BOF=22.5°，∠BOF=∠AED，

∴EG=OG，∠EAO=∠AOG，

∴AG=EG=OG，

∴DG垂直平分AE，

∴∠AMG=90°-∠BAE=67.5°，∠AHG=90°-EAO=67.5°，

∴∠AMG=∠AHG=∠BFO，

∴FG=MG，AM=AH，

∵∠BAE=∠EAO，

∴MG=GH，

∴FG=GH．

（3）如圖，連接BH，

∵點(diǎn)E在OB上運(yùn)動(dòng)，∠BOH=90°，

∴BH≥HE，

∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，HE取最大值，

如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BD于N，設(shè)OB=x，則AB=，

∵OE=AF，

∴BF=（-1）x，

∵∠ABO=45°，

∴△FBN是等腰直角三角形，

∴BN=BF=x，

∴DN=BD－BN=2x-x=x，

∵AF=x，AD =AB =x，

∴DF==x，

∴cos∠HDO==．