Question

閱讀以下的例題求解：例：已知x＞0，求函數(shù)y=x+

4

x

的最小值．
解：令a=x，b=

4

x

，則有a+b≥2

ab

，得y=x+

4

x

≥2

x× 4 x

=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=

4

x

時(shí)，即x=2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為4．
根據(jù)上面回答下列問題：
①已知x＞0，則當(dāng)x=

6

2

時(shí)，函數(shù)y=2x+

3

x

取到最小值，最小值為

2

6

；
②用籬笆圍一個(gè)面積為100m²的矩形花園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆周長是多少？
③已知x＞0，則自變量x取何值時(shí)，函數(shù)y=

x

x2-2x+9

取到最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析：①根據(jù)例題，可得y=2x+

3

x

≥2

2x• 3 x

=2

6

，當(dāng)且僅當(dāng)2x=

3

x

時(shí)，函數(shù)y=2x+

3

x

取到最小值，最小值為2

6

；
②首先設(shè)這個(gè)矩形的長為xm，籬笆周長是ym，可得函數(shù)解析式為：y=2（x+

100

x

），根據(jù)例題，即可求得答案；
③原函數(shù)可變形為：y=

1

x+ 9 x -2

，由x+

9

x

有最小值，即可求得自變量x取何值時(shí)，函數(shù)y=

x

x2-2x+9

取到最大值，并求得最大值．

解答：解：①∵令a=2x，b=

3

x

，則有a+b≥2

ab

，
∴y=2x+

3

x

≥2

2x• 3 x

=2

6

，當(dāng)且僅當(dāng)2x=

3

x

時(shí)，取等號(hào)，
∴x=

6

2

時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為2

6

．
故答案為：

6

2

，2

6

；

②設(shè)這個(gè)矩形的長為xm，籬笆周長是ym，
∵面積為100m²，
∴寬為

100

x

m，
∴y=2（x+

100

x

）≥4

x• 100 x

=40，當(dāng)且僅當(dāng)x=

100

x

時(shí)，即x=10時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為40，
∴這個(gè)矩形的長為10m、寬為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆周長是40m．

③∵y=

x

x2-2x+9

=

1

x-2+ 9 x

=

1

x+ 9 x -2

，
又∵x+

9

x

≥2

x• 9 x

=6，當(dāng)且僅當(dāng)x=

9

x

時(shí)，x+

9

x

有最小值，
∵x＞0，
∴當(dāng)x=3時(shí)，x+

9

x

有最小值，最小值為6，
∴此時(shí)y有最大值，最大值為：y=

1

6-2

=

1

4

；
∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)y=

x

x2-2x+9

取到最大值，最大值為

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了幾何不等式的應(yīng)用．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是理解例題，并能借助于例題求解．